Question

我有一个非根的双向未加权非二叉树。我知道如何找到树的直径，树中任何一对点之间的最大距离，但我有兴趣找到具有该最大距离的对的数量。是否有算法可以找到直径距离优于O（V ^ 2）时间的对数，其中V是节点数？

谢谢！

Answer 1

是的，有一种线性时间算法可以自下而上运行，类似于只找到直径的算法。这是Java-ish伪代码中的签名;我将算法本身作为练习。

class Node {
    Collection<Node> children;
}

class Result {
    int height;  // height of the tree
    int num_deep_nodes;  // number of nodes whose depth equals the height
    int diameter;  // length of the longest path inside the tree
    int num_long_paths;  // number of pairs of nodes at distance |diameter|
}

Result computeNumberOfLongPaths(Node root);  // recursive

Answer 2

是的，有一个带O（V + E）时间的算法。它只是找到直径的修改版本。

我们知道我们可以通过两次调用BFS找到直径，首先在任何节点上进行第一次调用，然后记住发现的最后一个节点并运行第二次调用BFS（u），并记住发现的最后一个节点，比如说v。u和v之间的距离给出了直径。

获得具有该最大距离的对数。

1.在调用第一个BFS之前，初始化长度| V |的数组距离和distance [s] = 0.s是任何节点上第一次BFS调用的起始顶点。

2.在BFS中，将while循环修改为：

while(Q is not empty)
 {
  e=deque(Q);
    for all vertices w adjacent to e
     {
       if(w is not visited)
        {
         enque(w)
         mark w as visited
         distance[w]=distance[e]+1
         parent[w]=e
        }
     }
 }

3.就像我说的，记住最后一个访问过的节点，说你是那个节点。现在计算与顶点u处于同一级别的顶点数。 mark是一个长度为n的数组，它的所有值都初始化为0,0意味着顶点最初没有计算。

n1=0
for i = 1 to number of vertices
 {
  if(distance[i]==distance[u]&&mark[i]==0)
   {
    n1++
    mark[i]=1/*vertex counted*/
   }
 }

n1给出与顶点u处于同一水平的顶点数，现在对于标记为[i] = 1的所有顶点都有标记，并且它们不会再次计数。

4.类似于在u上执行第二个BFS之前，初始化另一个长度为| V |的数组distance2和distance2 [u] = 0。

5.运行BFS（u）并再次获取发现的最后一个节点说v

6.重复第3步，这次是在distance2数组上，取一个不同的变量，说n2 = 0，条件为

if(distance2[i]==distance2[v]&&mark[i]==0)
 n2++
else if(distance2[i]==distance2[v]&&mark[i]==1)
 set_common=1

7.set_common是一个全局变量，当有一组顶点时设置，在任意两个顶点之间，路径是直径，第一个bfs没有标记所有顶点但是至少标记了一个这就是为什么mark [i] == 1。

假设第一个bfs确实在第一次调用中标记了所有这些顶点，那么n2将是= 0并且set_common将不会被设置并且也不需要。但是这种情况与上面相同

在任何情况下，给出直径的对的数量是：=

（n + n2）组合2 - X =（n1 + n2）！/（（2！）（（n1 + n2-2）！）） - X

我将详细说明X是什么.Else对的数量是= n1 * n2，这是2个不相交的顶点集给出直径的情况

所以使用的条件是

  if(n2==0||set_common==1)
    number_of_pairs=(n1+n2)C2-X
  else n1*n2

现在谈论X.可能会发生标记的顶点可能有共同的父节点。在这种情况下，我们不能计算那些组合。所以在使用上述条件之前，建议运行以下算法

  X=0/*Initialize*/
 for(i = 1 to number of vertices)
  {
   s = 0,p = -1
   if(mark[i]==0)
    continue
   else
   {
    s++
    if(p==-1)
     p=parent[i]
    while((i+1)<=number_of_vertices&& p==parent[i+1])
     {s++;i++}
   }
   if(s>1)
    X=X+sC2
 }

正确性证明

非常简单。由于BFS 逐级遍历树级，n1将为您提供u级别的顶点数量，n2将为您提供v级别的顶点数量因为u和v之间的距离=直径。因此，u级别上的任何顶点与v级别上的任何顶点之间的距离将等于直径。

所用时间为2（| V |）+ 2 * time_of_DFS = O（V + E）。

算法 - 查找树中直径距离对的数量？

2 个答案: