求图的直径的近似算法

Question

鉴于图表 G =（ V，E ），无向和无重力，我们希望找到图的直径 D 的值<强“G 即可。展示如何在O（| V | + | E |）的运行时间中找到值X使得X <= D <= 2 * X.

现在，要找到图形的实际直径，您只需要运行BFS两次。从任意节点开始，然后从最大的扩展节点运行。但在这个问题中，我需要找到直径的近似值。我的猜测是运行一次BFS并选择最大距离作为直径。有两种边缘情况可以发生。

当所选节点位于图形 G 的周边时，会出现第一个节点。扩展节点将位于周边的相对侧，因此 X 将等于 D 。

当所选节点位于 G 的中心并且 X 将等于 D 的一半时，将出现第二种情况（<在这种情况下，em> X 将是G）的无线电。

这是我对这个问题的回答。然而我得到了15/25。是否有一个我无法处理的边缘情况，或者从一开始就错了？

提前谢谢。

Answer 1

对于这个以前的算法TA，60％似乎有点苛刻 - 你给出了正确的算法，并确定了两个不等式的极值情况。不过，我同意你需要提供正式证据。如果您的评分者特别严格，您可能需要说一两个关于算法为线性时间的原因。

这是正式证明的开始。设d（v，w）是顶点v和w之间的路径的最小长度。直径定义为D = max_ {v，w} d（v，w）。您的算法选择一个任意顶点并输出X = max_ {w} d（s，w）。

你需要做一点代数才能显示两个事实：X <= D且D <= 2 X.你需要三角不等式d（a，b）+ d（b， c）＆gt; = d（a，c），它适用于所有顶点a，b，c，以及对称性d（a，b）= d（b，a）。