如何在3d空间中的平面上投影平面多边形

Question

我想沿着矢量将我的多边形投影到3d空间中的平面。我最好使用单个转换矩阵来做到这一点，但我不知道如何构建这种矩阵。

鉴于

• 飞机的参数（ax + by + cz + d），
• 我的Polygon的世界坐标。如标题中所述，我的多边形的所有顶点都位于另一个平面中。
• 投影我的多边形的方向向量（当前是多边形的平面的法线向量）

目标 -a 4x4变换矩阵，执行所需的投影，

或

• 关于如何构建自己的一些见解

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更新

感谢您的回答，它按预期工作。

对于发现这一点的人们要谨慎：如果投影平面的平面与投影矢量平行，则分母D将变为（几乎）0，因此为了避免发生奇怪的事情，某种处理方式需要这种特殊情况。我通过检查D＆lt; 1e-5，如果是这样，只需沿着挤压矢量转换我的多边形。

Answer 1

假设其中一个多边形的顶点为(x0, y0, z0)，方向向量为(dx,dy,dz)。

投影线上的一点是：(x,y,z) = (x0 + t*dx, y0 + t*dy, z0 + t*dz)。

您想要找到此线与平面的交点，因此请将其插入平面方程ax+by+cz+d = 0并求解t：

t = (-a*x0 - b*y0 - c*z0 - d) / (a*dx + b*dy + c*dz)

然后你有了目标顶点：x = x0+dx*t等等。

由于这是仿射变换，因此可以通过4×4矩阵来执行。你应该能够通过将x，y，z的三个方程写为x0，y0，z0的函数并取系数来确定矩阵元素。

例如，对于x：

x = x0 - (a*dx*x0 + b*dx*y0 + c*dx*z0 + d*dx) / D
x = (1 - a*dx/D)*x0 - (b*dx/D)*y0 - (c*dx/D)*z0 - d*dx/D

D = a*dx + b*dy + c*dz是上面的分母。 y和z的工作方式类似。

结果矩阵：

1-a*dx/D    -b*dx/D    -c*dx/D   -d*dx/D
 -a*dy/D   1-b*dy/D    -c*dy/D   -d*dy/D
 -a*dz/D    -b*dz/D   1-c*dz/D   -d*dz/D
    0          0          0         1

（注意：在Direct3D上，这个矩阵应该被转置，因为它使用行向量而不是列向量）。