Question

我有几个平面多边形，由它们在3D空间中的顶点定义。这些多边形在3维中随机旋转。

现在我想在它们自己的局部2D空间中处理这些多边形顶点中的每一个。我真的不在乎这个地方空间的中心在哪里。我只需要x＆amp; y轴与多边形法线正交。

例如，如果我有一个宽度为＆n的矩形的多边形。高度1，顶点可能看起来像：

v1 = [-0.558013, -0.0334937, -0.433013]
v2 = [0.308013, 0.466506, -0.433013]
v3 = [-0.308013, -0.466506, 0.433013]
v4 = [0.558013, 0.0334937, 0.433013]

但我希望他们看起来像这样：

v1 = [0, 0]
v2 = [0, 1]
v3 = [1, 1]
v4 = [1, 0]

所以我的问题是，如何将每个顶点3D坐标转换为局部2D坐标？

Answer 1

首先考虑多边形p0，p1和p2的三个非共线点，然后计算

loc0 = p0                       # local origin
locx = p1 - loc0                # local X axis
normal = cross(locx, p2 - loc0) # vector orthogonal to polygon plane
locy = cross(normal, locx)      # local Y axis

其中cross是叉积运算符：

def cross(a, b):
    return P3d(a.y*b.z - a.z*b.y,
               a.z*b.x - a.x*b.z,
               a.x*b.y - a.y*b.x)

然后规范化计算的局部轴locx和locy

locx /= locx.length()
locy /= locy.length()

最后点的本地坐标只是

local_coords = [(dot(p - loc0, locx),  # local X coordinate
                 dot(p - loc0, locy))  # local Y coordinate
                for p in points]

其中dot是标量乘积运算符：

def dot(a, b):
    return a.x*b.x + a.y*b.y + a.z*b.z

要从本地坐标(Lx, Ly)返回到3D，转换是

p = loc0 + Lx*locx + Ly*locy

Answer 2

对于一个多边形，您需要在多边形平面中找到局部2D基础，并在此2D基础上投影多边形的每个顶点的3D坐标以获得2D坐标。在下文中，我还假设您正在寻找正交二维基础（多边形平面上的单位长度和正交二维基矢量）。

一步一步：

计算多边形的（单位）法线n，假设顶点确实是共面的，
获取多边形的第一条边并使用它来定义2D基础的第一个轴u（单位矢量），
使用u和n（v = n x u）
在（u，v，n）3D基础上投影每个顶点，这将在多边形平面中给出其2D坐标。

例如，使用以下具有五个顶点的多边形：

   M1 +----+ M3
      |      \
      |       + M4
      |      /
   M2 +----+ M5

其中M1有3D坐标v1 = (x1, y1, z1)而M2有3D坐标v2 = (x2, y2, z2)等等......

与飞机垂直的单位为：n = (v2 - v1) x (v3 - v1) / |(v2 - v1) x (v3 - v1)|
2D基础的第一个轴是：u = (v2 - v1) / |(v2 - v1)|
2D基础的第二个轴是：v = n x u

获取多边形的顶点（或多边形平面中的任意点），例如M5。

然后，它的3D坐标可以(u, v, n)基础与原始v1一起编写。

  v5 = v1 + r5 * u + s5 * v + t5 * n


            (           ) ( r5 )   (  xu  xv  xn ) ( r5 )   (     ) ( r5 ) 
  v5 - v1 = (  u  v  n  ) ( s5 ) = (  yu  yv  yn ) ( s5 ) = (  B  ) ( s5 ) 
            (           ) ( t5 )   (  zu  zv  zn ) ( t5 )   (     ) ( t5 )

其中t5应为0（它是沿平面法线的点的坐标，因此如果该点位于多边形的平面上，则它为0）。

因此，求解(r5, s5, t5)会产生：

  ( r5 )                                    (  u  )
  ( s5 ) = B^-1 (v5 - v1) = B^T (v5 - v1) = (  v  ) ( v5 - v1 )
  ( t5 )                                    (  n  )

因为B是正交矩阵（所以B ^ -1 = B ^ T）。

最后，简单地说：

  r5 = u . (v5 - v1)
  s5 = v . (v5 - v1)

其中.是矢量点积。

获取3D空间中平面多边形顶点的局部2D坐标

2 个答案: