计算3D平面多边形的质心

Question

这是与此one here类似的问题。

给定定义曲面的3D坐标列表（Point3D1，Point3D2，Point3D3等），如何计算质心表面？

在2D中计算is given by the following formula：

3D模拟怎么样？

Answer 1

只使用你有两次的方程式，但第二次用 z 交换 y 。

即，计算两个投影的质心，一个投影到 x-y 平面，另一个投影到 x-z 平面。投影的质心将是实际质心的投影，因此答案将是您从中找到的 x ， y 和 z 值这两个计算。

更明确地说明：如果您的点是（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），...，要获得xy质心（Cx，Cy），请使用（x1， y1），（x2，y2），...和得到xz质心，（Cx，Cz）使用点（x1，z1），（x2，z2），...... - 只做第二次计算使用相同的2D公式，将z值视为等式中的y。然后你的3D质心将是（Cx，Cy，Cz）。只要您的表面是平坦的并且与x-y，x-z或y-z平面不平行（但如果它是平行的，它只是2D方程），这将起作用。

Answer 2

让点为v ₀ ，v ₁ ，...，v _N 逆时针，其中v _{i < / sub> =（x i ，y i ，z i ）。}

然后是三元组（v ₀ ，v ₁ ，v ₂ ），（v ₀ ，v ₂ ，v ₃ ），...，（v ₀ ，v _i ，v _{i +1} ），...，（v ₀ ，v _N-1 ，v _N ）形成N-1个三角形创建多边形。

每个三角形的面积为 | （v _i - v ₀ ）×（v _{i + 1} - v ₀ ）| ÷2 ，其中×是叉积和| ·|是矢量长度。

您可能需要将区域设为负值以补偿凹陷部分。一个简单的检查是计算（v _i - v ₀ ）×（v _{i + 1} - v _{0 < / sub>）·（v 1 - v 0 ）×（v 2 - v 0 ）}。该区域应与结果具有相同的符号。

由于2D图形的面积比率在平行投影下是恒定的，您可能需要选择不平行于平面的单位矢量（例如z），处理（v _i - v ₀ ）×（v _{i + 1} - v ₀ ）·z 作为区域。这样，您就不需要执行昂贵的平方根，并且会自动处理符号检查。

每个三角形的质心是（v ₀ + v _i + v _{i + 1} ）÷3

因此，假设密度均匀，整个多边形的质心是

                1       N-1
centroid = ——————————    ∑  ( centroid-of-triangle-i × area-of-triangle-i )
           total-area   i=1

（对于尺寸≥4D，需要使用A _i =½| v _i -v ₀ | | v计算面积 _{i + 1} -v ₀ |sinθ _i ，其中cosθ _i =（v _i -v ₀ ）·（v _{i + 1} -v ₀ ）。）

Answer 3

如果它是平面，您可以转换为平面局部坐标系，使用您呈现的公式计算质心，然后变换回来在3D空间中获取其坐标。