Question

找到两条2D线段的交点很容易; the formula is straight forward。但我担心找到两条3D线段的交点不是。

算法是什么，在C＃中最好找到两个3D线段的交点？

我找到了C++ implementation here。但我不相信解决方案，因为它优先考虑某个平面（看看perp在实现部分下实现的方式，它假定优先选择z plane。任何通用算法都不能假设任何飞机方向或偏好。）

有更好的解决方案吗？

Answer 1

大多数3D线条不相交。一种可靠的方法是找到两条3D线之间的最短线。如果最短的线的长度为零（或者距离小于您指定的任何公差），那么您就知道两条原始线相交。

查找the shortest line between two 3D lines, written by Paul Bourke的方法总结/解释如下：

在下面的内容中，一条线将由位于其上的两个点定义，a 由点P1和P2定义的线“a”上的点具有等式
Pa = P1 + mua (P2 - P1)
类似地，点P4和P4定义的第二行“b”上的点将写成
Pb = P3 + mub (P4 - P3)
mua和mub的值范围从负无穷大到正无穷大。   P1 P2和P3 P4之间的线段具有相应的μ   介于0和1之间。

有两种方法可以找到最短的线段   行“a”和“b”。

接近一个方法：

首先是记下线的长度段加入两条线然后找到最小值。那是，最小化以下
|| Pb - Pa ||^2
用线的方程代替
|| P1 - P3 + mua (P2 - P1) - mub (P4 - P3) ||^2
然后可以在（x，y，z）分量中扩展上述内容。

有条件要求至少满足，衍生品有   对mua和mub的尊重必须为零。 ......以上功能只有   一个最小值，没有其他最小值或最大值。那么这两个方程就可以了   为mua和mub解决，找到的实际交叉点   将mu的值代入线的原始方程。

方法二：

另一种方法，但给出完全相同的方程式意识到两条线之间的最短线段垂直于两条线。这允许我们写两个点积的方程为
(Pa - Pb) dot (P2 - P1) = 0
(Pa - Pb) dot (P4 - P3) = 0
根据线的等式扩展这些
( P1 - P3 + mua (P2 - P1) - mub (P4 - P3) ) dot (P2 - P1) = 0
( P1 - P3 + mua (P2 - P1) - mub (P4 - P3) ) dot (P4 - P3) = 0
根据坐标（x，y，z）扩展这些...... 结果如下
d1321 + mua d2121 - mub d4321 = 0
d1343 + mua d4321 - mub d4343 = 0
，其中
dmnop = (xm - xn)(xo - xp) + (ym - yn)(yo - yp) + (zm - zn)(zo - zp)
请注意dmnop = dopmn

最后，解决mua问题
mua = ( d1343 d4321 - d1321 d4343 ) / ( d2121 d4343 - d4321 d4321 )
和back-substitute给出了mub
mub = ( d1343 + mua d4321 ) / d4343

找到此方法on Paul Bourke's website，这是一种出色的几何资源。该网站已经重组，因此向下滚动以查找主题。

Answer 2

// This code in C++ works for me in 2d and 3d

// assume Coord has members x(), y() and z() and supports arithmetic operations
// that is Coord u + Coord v = u.x() + v.x(), u.y() + v.y(), u.z() + v.z()

inline Point
dot(const Coord& u, const Coord& v) 
{
return u.x() * v.x() + u.y() * v.y() + u.z() * v.z();   
}

inline Point
norm2( const Coord& v )
{
return v.x() * v.x() + v.y() * v.y() + v.z() * v.z();
}

inline Point
norm( const Coord& v ) 
{
return sqrt(norm2(v));
}

inline
Coord
cross( const Coord& b, const Coord& c) // cross product
{
return Coord(b.y() * c.z() - c.y() * b.z(), b.z() * c.x() - c.z() * b.x(), b.x() *  c.y() - c.x() * b.y());
}

bool 
intersection(const Line& a, const Line& b, Coord& ip)
// http://mathworld.wolfram.com/Line-LineIntersection.html
// in 3d; will also work in 2d if z components are 0
{
Coord da = a.second - a.first; 
Coord db = b.second - b.first;
    Coord dc = b.first - a.first;

if (dot(dc, cross(da,db)) != 0.0) // lines are not coplanar
    return false;

Point s = dot(cross(dc,db),cross(da,db)) / norm2(cross(da,db));
if (s >= 0.0 && s <= 1.0)
{
    ip = a.first + da * Coord(s,s,s);
    return true;
}

return false;
}

Answer 3

我找到了一个解决方案：it's here。

我们的想法是利用向量代数，在此阶段之前使用dot和cross来解决问题：

a (V1 X V2) = (P2 - P1) X V2

并计算a。

请注意，此实现不需要任何平面或轴作为参考。

Answer 4

我尝试了@Bill answer，实际上每次都不起作用，我可以解释一下。基于link in his code.例如，我们有两个线段 AB 和 CD 。

A =（2,1,5），B =（1,2,5）和C =（2,1,3）和D =（2,1,2）

当你试图得到交叉点时，它可能会告诉你它是A点（不正确）或没有交叉点（正确）。根据您放置这些细分的顺序。

x = A +（B-A）s
x = C +（D-C）t

Bill解决了 s 但从未解决 t 。由于您希望交叉点位于两个线段上，因此 s 和 t 必须来自区间＆lt; 0,1＆gt; 。在我的例子中实际发生的是，只有 s ，如果来自该区间， t 是-2。 A 位于由 C 和 D 定义的行上，但不在行 CD 上。

var s = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, db), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

var t = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, da), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

其中da是B-A，db是D-C，dc是C-A，我只保留了Bill提供的名字。

然后正如我所说，你必须检查 s 和 t 是否来自＆lt; 0,1＆gt; ，你可以计算出结果。基于上面的公式。

if ((s >= 0 && s <= 1) && (k >= 0 && k <= 1))
{
   Vector3 res = new Vector3(this.A.x + da.x * s, this.A.y + da.y * s, this.A.z + da.z * s);
}

比尔答案的另一个问题是当两条线共线并且有一个以上的交叉点时。会有零除。你想避免这种情况。

Answer 5

但我不敢找到两个3D线段的交点，

我认为是。您可以使用与2d（或任何其他维度）完全相同的方式找到交点。唯一的区别是，得到的线性方程组更可能没有解（意味着线不相交）。

你可以手动解决一般方程式，只需使用你的解决方案，或者用编程方式解决它，例如Gaussian elemination

Answer 6

您提到的原始来源仅适用于二维情况。 perp的实现很好。 x和y的使用只是变量，并不表示对特定平面的偏好。

在3d情况下，同一站点具有此功能： “ http://geomalgorithms.com/a07-_distance.html”

貌似Eberly撰写了回复： “ https://www.geometrictools.com/Documentation/DistanceLine3Line3.pdf”

在这里放置这些内容是因为google指向几何算法和这篇文章。

Answer 7

我找到了答案！

在上面的答案中，我找到了以下等式：

Eq＃1：var s = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, db), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

Eq＃2：var t = Vector3.Dot(Vector3.Cross(dc, da), Vector3.Cross(da, db)) / Norm2(Vector3.Cross(da, db));

然后我修改了＃3rd方程：

Eq＃3：

if ((s >= 0 && s <= 1) && (k >= 0 && k <= 1))
{
   Vector3 res = new Vector3(this.A.x + da.x * s, this.A.y + da.y * s, this.A.z + da.z * s);
}

在保持等式1和等式2相同的同时，我创建了以下等式：

MyEq＃1：Vector3f p0 = da.mul(s).add(A<vector>); MyEq＃2：Vector3f p1 = db.mul(t).add(C<vector>);

然后我对创建另外三个方程进行了大胆的猜测：

MyEq＃3：Vector3f p0z = projUV(da, p0).add(A<vector>); MyEq＃4：Vector3f p1z = projUV(db, p1).add(C<vector>);

最后，减去projUV（1，2）的两个量值，可以得出0到0.001f之间的误差范围，以找出两条线是否相交。

MyEq＃5：var m = p0z.magnitude() - p1z.magnitude();

现在，我介意您，这是用Java完成的。此说明尚未准备好Java约定。只需根据上面的公式进行操作即可。（提示：请不要转换到世界空间，以使UV方程的两个投影都恰好落在您想要的位置。）

这些等式在我的程序中在视觉上都是正确的。

Answer 8

除了 Bobs 的回答：

我在测试中发现，intersection() 函数解决了原来问题的一半，这是一种找到两条 3D 线线段的交点的算法。

假设这些线是共面的，这个问题有 5 种可能的结果：

线段是平行的，所以它们不相交，或者，
线段不平行，它们所在的无限长线确实相交，但相交点不在任一线段的边界内，或者，
两条线相交且交点在 a 线的边界内但不在 b 线的边界内，或者，
两条线相交且交点在 b 线的边界内，但不在 a 线的边界内，或者，
两条线相交，交点在两条线段的边界内。

当直线相交且交点在直线 a 的边界内时，Bob 的intersection() 函数返回true，但如果直线相交且交点仅在直线b 的边界内，则返回false。

>

但是，如果您调用 intersect() 两次，首先是 a 行，然后是 b 行，然后第二次是 b 行和 a 行（交换了第一个和第二个参数），那么如果两个调用都返回 true，则相交包含在两者中线段（案例 5）。如果两个调用都返回 false，则两个线段都不包含相交（情况 2）。如果只有一个调用返回 true，则作为该调用的第一个参数传递的段包含交点（情况 3 或 4）。

此外，如果调用 norm2(cross(da,db)) 的返回值等于 0.0，则线段是平行的（情况 1）。

我在测试中注意到的另一件事是，经常使用这种代码实现的固定精度浮点数，dot(dc, cross(da,db)) 返回 0.0 可能非常不寻常，因此返回false 当情况并非如此时可能不是您想要的。您可能希望引入一个阈值，低于该阈值代码将继续执行而不是返回 false。这表明线段在 3D 中倾斜，但根据您的应用，您可能希望允许少量倾斜。

我注意到的最后一件事是 Bill 代码中的这条语句：

ip = a.first + da * Coord(s,s,s);

那个 da * Coord(s,s,s) 看起来是一个向量乘以向量。当我用 da * s 的标量倍数替换它时，我发现它运行良好。

但无论如何，非常感谢鲍勃。他想出了困难的部分。

求解两个三维线段交点的算法

8 个答案: