如何找到递归关系T（N）= T（N / 2）+ N ^ 2

Question

简化此递归关系涉及的过程是什么？

我能得到这么多：

T(n) = T(n/2) + n^2
T(n) = T(n/4) + (n/2)^2 +n^2
T(n) = T(n/8) + (n/4)^2 + (n/2)^2 + n^2

据我所知，当n = 1时会终止，因为1/2 = 0; C（0）= 0。 过去我一直在想办法解决这些问题。

Answer 1

基本的想法是C(N)和C(N/2)应该是同一形式的表达。由于它们之间的区别只是N的一个简单函数，因此你的脑海中会浮现出一个无限的总和，C(N)-C(N/2)变为伸缩。 sum的每个项应该是给定函数，N/2^k（k=0, 1, ...}作为参数。

因此C(N) = N^2 + (N/2)^2 + (N/4)^2 + (N/8)^2 + ...完成了这项工作，并且可以借助几何系列的身份C(N)=4/3*N^2进一步评估它。