如果算法时间复杂度为θ（n ^ 2），那么对于一个输入，它是否可能在O（n）中运行？

Question

如果算法时间复杂度为θ（n ^ 2），那么对于一个输入，它是否可能在O（n）中运行？ 通过theta的定义，似乎没有输入将在O（n）中运行。但有些人说这是可能的。

我真的想不到一个在theta（n ^ 2）中运行的算法会有一个可以在O（n）中运行的输入。

如果是真的，你可以向我解释并给我一个例子吗？

非常感谢！

Answer 1

我认为你的术语正在绊倒你。

算法不能是“Θ（n ² ）。” Theta表示法描述了函数的增长率。你可以说算法的运行时是Θ（n ² ），在这种情况下，算法不能在任何输入上及时运行O（n），或者你可以说算法的最坏情况运行时是Θ（n ² ），在这种情况下，对于某些输入，算法可能会在时间O（n）内运行（例如，插入排序）。

希望这有帮助！

Answer 2

  

如果算法时间复杂度是theta（n ^ 2），那么对于一个输入它是否可能在O（n）中运行？

没有。这就是原因。假设算法的运行时间为f(n)。自f(n) = Θ(n)开始，我们就会有一些常量c0>0和n0>0，c0*n^2 <= f(n)代表n >= n0。让我们假设f(n) = O(n)。这意味着对于某些常量c1>0, n1>0，我们每f(n) <= c1*n都会n>=n1。然后我们会n >= max(n1, n2) c0*n^2 <= f(n) <= c1*n => c0*n <= c1 n > c1/c0不适用O。矛盾。

非正式地，您始终可以将<=视为Θ，将=视为Ω（并将>=视为{{1}}）。因此，您可以将问题重新表述为：

  

如果某物等于n ^ 2则小于n？

Answer 3

我的理解是，虽然Big-Oh只断言上限，但Big-Theta断言上限和下界。根据定义，如果某些内容在theta(n^2)中执行，则没有性能为theta(n)的输入。

注意：这些都是指渐近复杂度。算法可以在较小的输入上执行不同的操作，即，由于隐藏的常数因素，在theta(n^2)中运行的算法可能优于（在较小的输入上）在theta(n)中运行的某些内容。