使用＆lt;或者在大O中

Question

我已经看到了O符号的两种不同的正式定义：

f（n）= O（g（n））如果有常数n ₀ ，c其中对于任何n ₀ ，我们有f（n）＆lt ; CG（n）的

和

f（n）O（g（n））如果有常数n ₀ ，c其中对于任何 ₀ ，我们有f（n）≤cg（ n）的

区别在于f（n）是否严格小于cg（n）或小于或等于cg（n）。

这些定义是否相同？如果是这样，我该如何证明呢？

Answer 1

首先，如果你有那个

  

f（n）＆lt; c g（n）表示任何n≥n ₀

那么

也是如此

  对于任何n≥n ₀ ，

f（n）≤cg（n）。

同样，假设

  

f（n）≤cg（n）对于任何n≥n ₀

假设g（n）≥1，那么对于任何n≥n ₀ ，你得到

  

f（n）≤cg（n）≥cg（n）+1≤cg（n）+ g（n）=（c + 1）g（n）

因此，使用新常量c'= c + 1，我们得到

  

f（n）＆lt; c'g（n）表示任何n≥n ₀

希望这有帮助！