我正在解决Kleinberg和Tardos的算法设计书中的练习，并且遇到了这个不太容易（对我而来）的问题，即找到一个边缘永远不属于图形的MST的保证。问题是这样的：
在每个边e上给出一个图G =（V，E），成本为c_e。给定错误参数epsilon和k（均> 0），您希望确定以下属性（*）是否适用于多项式时间内的特定边e'=（u，v）。
（*）即使每个边缘的成本最多改变epsilon（增加或减少），并且除了e'之外的k个边缘的成本进一步改变为某些任意不同的值，边缘e '仍然不属于G的任何MST。
我知道MST的cut属性但是看不出如何应用于这个问题。提前感谢您的想法！
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感谢j_random_hacker的评论，最终得到了答案。
答案主要使用MST的循环属性 - 如果边是G中循环中最昂贵的边，则它不能属于G的任何MST。
将k边缘的成本改为任意值的规定意味着我们必须证明e'是至少k + 1个周期中最昂贵的边缘，所有这些边缘都是边缘不相交的，除了e'本身。这样，即使k个边沿的任意变化导致e'在k个周期中不是最昂贵的，它仍然是最后一个周期中最昂贵的。
给定图G，边e'和参数k和epsilon（均> 0）：
暂时删除G中比e'更贵的所有边缘（这可确保在我们找到的任何周期中e'最贵）
现在，将e'的一端设置为源，将另一端设置为sink（t）。将所有边缘的容量设置为1.流量完整性确保由于所有容量都是整数，我们将获得积分流量。
查看您是否获得至少k + 1的值流。如果是，流分解将为您提供从s到t的尽可能多的边缘不相交路径作为流的值。通过向它们添加e'将所有这些路径转换为循环 - 这样你就有了k + 1（或更多）循环，其中e'是最昂贵的边缘，除了e'之外都是边缘不相交的。您现在可以安全地说e'属性（*）成立。
如果它是一个整数，我有办法处理epsilon。在步骤1中，删除比成本（e）+ 2 * epsilon更昂贵的所有边。