重复减去值的代码有多复杂？

Question

我有这段代码，想知道它的时间复杂性：

    int N,M; // let N and M be any two numbers 
    while(N != M && N > 0 && M > 0){
       if(N > M)N -= M;
       else M -= N;
    }

我不知道如何分析这一点，因为M和N的值以不寻常的方式减少。有没有一种标准的方法来解决这个问题？

Answer 1

此代码是Euclidean algorithm的简单实现。在每次迭代中，您将从较大的数字中减去较小的数字，因此您可以将算法划分为“阶段”。每个阶段包括从较大数字中减去较小数字的副本，直到较大数字低于较小数字。 （这与古希腊人知道关于调用 anythpharesis 的程序有关）这个现代版本可能只是用更小的数字来修改更大的数字，这已知在O中终止（log min {M，N}）步骤（这是现代欧几里德算法）并在每一步上花费O（1）时间，假设数字表示为整数。

在这种情况下，我们知道会有O（log min {M，N}）阶段，但每个阶段都不会花费一定的时间。使用任何阶段背后的几何直觉，可以构造数字对，其中每个阶段需要很长时间才能终止，所以我所知道的最佳界限就是说运行时为O（N + M）。

简而言之：与以对数时间运行的现代实现相比，此代码效率低下。很难在运行时获得良好的上限，但实际上它并不重要，因为你可能只是重写代码以提高效率。 ： - ）

希望这有帮助！