我遇到了两个渐近函数证明。
f（n）= O（g（n））表示2 ^ f（n）= O（2 ^ g（n））
Given: f(n) ≤ C1 g(n)
So, 2^f(n) ≤ 2^C1 g(n) --(i)
Now, 2^f(n) = O(2^g(n)) → 2^f(n) ≤ C2 2^g(n) --(ii)
From,(i) we find that (ii) will be true.
Hence 2^f(n) = O(2^g(n)) is TRUE.
你能告诉我这个证据是否正确吗？有没有其他方法可以解决这个问题？
2.f（n）= O（（f（n））^ 2）
如何证明第二个例子？在这里我考虑两种情况，一种是f（n）<1而另一种是f（n）> 1.
Note: None of them are homework questions.
答案 0 :(得分：0)
示例1的尝试证明看起来很好但是有缺陷。首先，“2^f(n) ≤ 2^C1 g(n)”表示2^f(n) ≤ (2^C1)*g(n)，一般都是假的。应该写成2^f(n) ≤ 2^(C1*g(n))。在以“Now”开头的行中，您应该明确说出C2 = 2^C1。声明“（ii）将是真的”是空的（没有（ii））。
像f(n) = 1/n这样的函数反驳了示例2中的声明，因为没有常数N和C，因此对于所有n＆gt; N，f（n）＆lt; C *（F（N））2。证明：给出一些N和C.选择n> N，n> C。 f（n）= 1 / n = n *（1 / n 2）> C *（1/n²）= C *（f（n））²。因为N和C是任意选择的，这表明没有N和C的固定值使得对于所有n> 1。 N，f（n）＆lt; C *（f（n））²，QED。
说“f（n）≥1”不足以证明第二项索赔;但如果你写“f（n）≥1表示所有n”或“f（）≥1”，则可以证明。例如，如果对于奇数n，f（n）= 1 / n，对于偶数n，如果f（n）= 1 + n，则f（n）> 1甚至n>奇数n为0，小于1。为了证明f（n）= O（（f（n））²）是假的，使用与前一段相同的证据，但附加规定n是偶数。
实际上，对于所有n，“f（n）≥1”强于确保f（n）= O（（f（n））²所需的强度。设ε为任何固定的正值。无论ε多小，对于所有n，“f（n）≥ε”。 N'“确保f（n）= O（（f（n））²）。为了证明这一点，取C = max（1,1 /ε）和N = N'。