排序算法复杂性的证明

Question

该定理表示：

任何比较排序算法都会在最坏的情况下执行Ω（nlg（n））比较。

证明我找到了：

查看算法执行的最坏情况下的比较次数，意味着在其决策树中从根到叶子的最长路径。

高度为h的二叉树最多有2 ^ h个叶子，并且有n个！排列（输出），我们有：

  

2 ^h≥n！

我知道我们可以将2^h ≥ n!重写为h ≥ log2(n!)，但我们怎样才能最终得到：

  

h≥log2（n！）=Ω（n * lg（n））？

Answer 1

将Stirling's approximation应用于日志 ₂ （n！）一词给出：

n log ₂ （n） - log ₂ （e）* n + O（log ₂ （n））

是Ω（n log ₂ （n））

Answer 2

N！是n个小于或等于n的数的乘积，所以：

log(n!) < log(n^n)
=> log(n!) < n*log(n)

和n！是n / 2个数至少为n / 2的乘积，以及一些其他数字＆gt; 1，所以：

log(n!) > log((n/2)^(n/2))  
=> log(n!) > n*log(n/2)/2
=> log(n!) > n*(log(n)-log(2))/2
=> log(n!) > n*log(n)/4 when log(n) - log(2) > log(n)/2
=> log(n!) > n*log(n)/4 when log(n) > 2log(2)
=> log(n!) > n*log(n)/4 when n > 4