f（n）= O（g（n））或g（n）= O（f（n））

Question

我试图证明这对于任何具有域和共域N的函数f和g是正确的。我已经看到它使用限制证明了它，但显然你也可以在没有它们的情况下证明它。

基本上我试图证明的是＆＃34;如果f（n）没有g（n）的大O，那么g（n）必须有一个大的O F（N）。我遇到麻烦的是试图理解什么＆＃34; f没有g＆＃34;手段。

根据big-O的形式定义，如果f（n）= O（g（n））则n> = N - >对于一些N和常数c，f（n）＆lt; = cg（n）。如果f（n）！= O（g（n））我认为这意味着没有c能够满足n的所有值的这个不等式。然而，我不知道如何利用这一事实来证明g（n）= O（f（n））。这并不能证明c＆＃39;存在g（n）＆lt; = c＆＃39; f（n），这将成功证明这个问题。

Answer 1

首先，你对big-O的定义是 little bitt off。你说：

  

我认为这意味着没有c能够满足n的所有值的这种不等式。

实际上，您需要选择一个值c，以实现n的任何值的不等式。

无论如何，要回答这个问题：

我不相信问题中的陈述是真的......让我们看看我们是否可以想到一个反例，其中f（n）≠O（g（n））和g（n）≠O （F（N））。

注意：我将交替使用n和x，因为我更容易这样思考。

我们必须提出两个功能，当它们走向无限时，它们会不断相互交叉。不仅如此，他们还必须继续相互交叉，无论我们是多少的常数c。

这让我觉得这些功能必须在两种不同的时间复杂性之间交替。

让我们看一下在y = x和y = x^2之间交替的函数：

f(x) = .2 (x * sin(x) + x^2 * (1 - sin(x)) )

现在，如果我们创建一个具有轻微偏移振荡的类似函数：

g(x) = .2 (x * cos(x) + x^2 * (1 - cos(x)) )

然后这两个函数将继续将彼此的路径交叉到无穷大。

对于您选择的任何数字N，无论多高，都会x1大于N，f(x) = x^2和g(x) = x。同样，x2和g(x) = x^2会有f(x) = x。

在这些点上，您将无法选择任何c1或c2来确保f(x) < c1 * g(x)或g(x) < c2 * f(x)。

总之，f（n）≠O（g（n））并不意味着g（n）= O（f（n））。

Answer 2

不正确。如果f(n) = 1为奇数，则n为零，否则为{0}，如果g(n) = 1为偶数则为n，否则为零。

要说f为O(g)会说C > 0和N > 0为常数，n > N暗示f(n) <= C g(n)。设n = 2 * N + 1，以便n为奇数。然后f(n) = 1但g(n) = 0，以便f(n) <= C * g(n)是不可能的。因此，f O(g)不是真的。

同样，我们可以证明g O(f)不是真的。