证明福勒的货币分配算法是正确的

Question

Martin Fowler has a Money class有一个货币分配程序。该例程根据给定的比率列表分配资金，而不会通过舍入而损失任何价值。它会将任何余数值传播到结果上。

例如，按“比率”（1,1,1）分配的100美元将产生（34美元，33美元，33美元）。

以下是allocate功能：

public long[] allocate(long amount, long[] ratios) {
    long total = 0;
    for (int i = 0; i < ratios.length; i++) total += ratios[i];

    long remainder = amount;
    long[] results = new long[ratios.length];
    for (int i = 0; i < results.length; i++) {
        results[i] = amount * ratios[i] / total;
        remainder -= results[i];
    }

    for (int i = 0; i < remainder; i++) {
        results[i]++;
    }

    return results;
}

（为了这个问题，为了使它更简单，我冒昧用long取代Money类型。）

问题是，我怎么知道它是正确的？除了最终的for-loop之外，这一切似乎都是不言而喻的。我认为为了证明函数是正确的，在最终的for循环中证明以下关系是正确的就足够了：

remainder < results.length

有人可以证明吗？

Answer 1

关键的洞察力是，在计算每个result[i]时，总余数等于各个余数的总和。

由于每个单独的余数是四舍五入的结果，因此最多为1.剩余results.length个余数，因此总余数最多为results.length。

编辑：显然，这不是一个没有漂亮符号的证明，所以这里有一些...

Answer 2

无需证明。

基本金额通过简单划分，四舍五入。 因此，分配的金额将始终小于或等于总金额。

剩余包含未分配的金额。哪个总是比'i'少一整数。所以他只是给每个接收器1，直到钱不见了。

Answer 3

简单

只使用

这个事实

α=地板（A / B）* B +（A％B）

Answer 4

我会说这不正确，因为一些奇怪的比例可能导致余数大于结果数。因此，我建议results[i % results.length].amount++;。

编辑：我撤回了我的回答。有多头没有好奇的比例，浮点模数没有帮助