Question

我对Dijkstra算法的运行时复杂性有疑问。（参见CLRS vertion 3中的伪代码）：

DIJKSTRA(G, w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2 S ← ∅ 
3 Q ← V[G]
4 while Q != ∅ 
5   do u ← EXTRACT-MIN(Q)
6   S ← S ∪ {u} 
7   for each vertex v ∈ Adj[u]
8     do RELAX(u, v,w)

我知道line3是O（V），line5总共是O（VlogV）; line7总共为O（E），line8表示reduce_key（），因此每个Relax（）操作都是logV。但是在relax（）中，在d [v]＆gt; d [u] +权重并决定放松之后，我们不应该在调用reduce_key之前查找队列Q中v的位置（Q，pos，d [v ]）用d [v]替换pos的关键字？注意这个查找本身需要花费O（V）。所以每个Relax（）应该花费O（V），而不是O（logV），对吗？

关于空间复杂性的问题：为了比较队列Q中的顶点，我设计了一个带有距离的结构/类顶点作为一个成员，然后我实现了诸如operator＆lt;通过比较它们的距离来排序顶点。但似乎我必须定义一个重复的数组dist []，以便在Relax（）中做dist [v] = dist [u] +权重。如果我没有定义重复数组，我必须在队列Q中查找v和u的位置，然后获取并检查它们的距离。是假设以这种方式工作？或者我的实施可能不好？

Answer 1

Dijkstra的算法（正如您所写的）没有运行时复杂性，除非您指定数据结构。你在某种程度上是正确的说“第7行”是O（E）操作的问题，但让我们来看看（幸运的是，Dijkstra“很容易”分析）。

初始化意味着“给所有顶点一个无限远的距离，除了距离为0的源。很简单，这可以在O（V）中完成。
S套装的优点是什么？你使用它“只写”。
您将所有元素都放入队列中。这里是龙。什么是（优先级！）队列？具有操作添加的数据结构，可选地reduceKey（Dijkstra需要），删除（Dijkstra中不需要），extractMin。根据实现，这些操作具有某些运行时。例如，你可以构建一个只是一个（标记）集的哑PQ - 然后添加和减少一个键是恒定时间，但是为了提取最小值，你必须搜索。 Dijkstra中的规范解决方案是使用一个队列（如堆）来实现O（log n）中的所有相关操作。让我们分析这个案例，虽然从技术上讲，斐波那契堆会更好。不要自己实现队列。通过使用真正的PQ实现，您可以节省多少钱。
你经历了n次。
每次提取最小值，最小值为O（n log n）（在所有迭代中）。
套装S的优点是什么？
你最多经过一次每个顶点的边缘，也就是说每个边缘最多两次，所以你总是在O（E）次循环中做任何事情。
放松意味着检查您是否必须减少密钥并执行此操作。我们已经知道每个这样的操作都可以在队列中添加O（log V）（如果它是一个堆），我们必须做O（E）次，所以它是O（E log V），它占据了总运行时间

如果你服用Fibonacci-Heap，你可以下到O（VlogV + E），但这是学术性的。真正的实现调整堆。如果您想了解实施的性能，请分析PQ操作。但正如我所说，如果你不确切知道你在做什么，最好使用现有的实现。你在“调用reduceKey之前查找一个位置”的想法告诉我，在你想出一个实现有效地每次插入O（V）（通过每次调用一些reduceKey进行排序）或O（O）之前，你应该深入研究该主题。 V）每extractMin（通过查找最低要求）。

Dijkstra的复杂性是否正确？

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