Question

我从很多来源读到，如果使用天真的方式获得最小元素（线性搜索），Dijkstra的最短路径也将以O（V ^ 2）复杂度运行。但是，如果使用优先级队列，它可以优化为O（VLogV），因为此数据结构将在O（1）时间内返回min元素，但在删除min元素后需要O（LogV）时间来恢复堆属性。

我已经在以下代码中为Dijkstra的算法实现了此链接中的UVA问题：https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=16&page=show_problem&problem=1927：

#include<iostream>
#include<vector>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <set>

using namespace std;

#define rep(a,b,c) for(int c=a;c<b;c++)

typedef std::vector<int> VI;
typedef std::vector<VI> VVI;

struct cmp {
    bool operator()(const pair<int,int> &a,const pair<int,int> &b) const {
        return a.second < b.second;
    }
};

void sp(VVI &graph,set<pair<int,int>,cmp> &minv,VI &ans,int S,int T) {
    int e = -1;
    minv.insert(pair<int,int>(S,0));
    rep(0,graph.size() && !minv.empty() && minv.begin()->first != T,s) {
        e = minv.begin()->first;
        minv.erase(minv.begin());
        int nb = 0;
        rep(0,graph[e].size(),d) {
            nb = d;
            if(graph[e][d] != INT_MAX && ans[e] + graph[e][d] < ans[d]) {
                set<pair<int,int>,cmp>::iterator si = minv.find(pair<int,int>(d,ans[d]));
                if(si != minv.end())
                    minv.erase(*si);
                ans[d] = ans[e] + graph[e][d];
                minv.insert(pair<int,int>(d,ans[d]));
            }
        }
    }
}

int main(void) {
    int cc = 0,N = 0,M = 0,S = -1,T = -1,A=-1,B=-1,W=-1;
    VVI graph;
    VI ans;
    set<pair<int,int>,cmp> minv;
    cin >> cc;

    rep(0,cc,i) {
        cin >> N >> M >> S >> T;
        graph.clear();
        ans.clear();
        graph.assign(N,VI());
        ans.assign(graph.size(),INT_MAX);
        minv.clear();
        rep(0,N,j) {
            graph[j].assign(N,INT_MAX);
        }
        ans[S] = 0;
        graph[S][S] = 0;
        rep(0,M,j) {
            cin >> A >> B >> W;
            graph[A][B] = min(W,graph[A][B]);
            graph[B][A] = min(W,graph[B][A]);
        }
        sp(graph,minv,ans,S,T);
        cout << "Case #" << i + 1 << ": ";
        if(ans[T] != INT_MAX)
            cout << ans[T] << endl;
        else
            cout << "unreachable" << endl;
    }
}

根据我的分析，我的算法具有O（VLogV）复杂度。 STL std :: set实现为二叉搜索树。此外，该集合也被排序。因此，从中获取最小元素是O（1），插入和删除每个都是O（LogV）。但是，我仍然从这个问题得到一个TLE，它应该可以在O（VLogV）中基于给定的时间限制来解决。

这让我更深入地思考。如果所有节点互连使得每个顶点V具有V-1个邻居会怎么样？不会让Dijkstra的算法在O（V ^ 2）中运行，因为每个顶点每周必须查看V-1，V-2，V-3 ...节点？

再想一想，我可能误解了最坏情况的复杂性。有人可以就以下问题告诉我：

Dijkstra的算法O（VLogV）如何特别考虑上述反例？
我如何优化我的代码以使其达到O（VLogV）复杂度（或更好）？

编辑：

我意识到我的程序毕竟不在O（ElogV）中运行。瓶颈是由我在O（V ^ 2）中运行的输入处理引起的。 dijkstra部分确实在（ElogV）中运行。

Answer 1

为了理解Dijkstra算法的时间复杂度，我们需要研究在用于实现Frontier集的数据结构上执行的操作（即用于算法中minv的数据结构）：

插入
更新
查找/删除最低要求

在算法的整个持续时间内，数据结构中有O(|V|)次插入，O(|E|)次更新，O(|V|)查找/删除最小值。

最初Dijkstra使用未排序的数组实现了Frontier集。因此，插入和更新为O(1)，但查找/删除最低为O(|V|)，结果为O(|E| + |V|^2)，但自|E| < |V|^2起，您有O(|V|^2)。< / p>
如果使用二进制最小堆来实现Frontier集，则所有操作都有log(|v|)，从而产生O(|E|log|V| + |V|log|V|)，但因为假设|E| > |V|是合理的}，你有O(|E|log|V|)。
接下来是Fibonacci堆，您有O(1)分摊时间用于插入/更新/查找最小值，但O(log|V|)分摊时间用于删除最小值，为您提供当前最知名的时间限制O(|E| + |V|log|V|)的Dijkstra算法。

最后，如果O(|V|log|V|)，则(|V|log|V| < |E|)无法解决O(|E| + |V|)最坏情况时间复杂度中的单源最短路径问题的算法，因为问题具有chart = VerticalBarChart()的微不足道的较低时间界限即你需要至少检查一次每个顶点和边缘以解决问题。

Answer 2

使用BST或堆改善Dijkstra会导致时间复杂，如O(|E|log|V|)或O(|E|+|V|log|V|)，请参阅Dijkstra's running time。必须在某个时刻检查每个边缘。

Dijkstra算法的复杂性

2 个答案: