这个for循环的大O分析

Question

 sum = 0;
 for (i = 1; i <= n; i++) {    //#1
   for (j = 1; j <= i * i; j++) {     //#2
      if (j % i == 0) {    //#3 
          for (k = 1; k <= j; k++) {   //#4
             sum++;
         }
     }
  } 

}

以上让我感到困惑

Suppose #1 runs for N times
    #2 runs for N^2 times
    #3 runs for  N/c since for N inputs N/c could be true conditions
    #4 runs for  N times

因此大致我可以看O（N ^ 5）。我不确定。请帮忙澄清一下。

编辑我想知道if(j%i==0)的运行时。由于它的父循环需要N^2个输入，因此执行(N^2)/c而不是N/c

Answer 1

我会说它的O（N ^ 4）和它一样。

 for (int i = 1; i <= n; i++)        //#1 O(n ...
   for (int j = i; j <= i * i; j+=i) //#2 ... * n ...
     for (int k = 1; k <= j; k++)    //#4 ... * n^2) as j ~= i^2
         sum++;

或

public static void main(String... args) {
    int n = 9000;
    System.out.println((double) f(n * 10) / f(n));
}

private static long f(long n) {
    long sum = 0;
    for (long i = 1; i <= n; i++)   //#1
        for (long j = 1; j <= i; j++) //#2
            sum += i * j; // # 4
    return sum;
}

打印

9996.667534360826

非常接近10 ^ 4

Answer 2

@PeterLawrey做了数学计算，这里是绘制在图表上的基准（my data set - n与执行时间（以微秒为单位））。

基本上我使用不同的n输入（X轴）多次运行有问题的代码。然后我将平均执行时间除以n^5，n^4和n^3函数，并将其绘制成：

^{Full size image}

请注意，这是一个对数刻度，并且所有函数都被缩放到或多或少相同的范围内。

猜猜是什么，avergae执行时间t(n)除以n^5不断减少，而t(n)/n^3不断增长。当接近无穷大时，只有t(n)/n^4稳定，这证明平均执行时间实际上是O(n^4) 。

Answer 3

我认为使用Sigma表示法的答案如下：