Question

这是什么大事？

for (int i = 1; i < n; i++) {
    for (int j = 1; j < (i*i); j++) {
        if (j % i == 0) {
            for (int k = 0; k < j; k++) {
                // Simple computation
            }
        }
    }
}

真的不能弄清楚。倾向于说为O（n ^ 4的log（n）），但觉得我错在这里。

Answer 1

这是一个令人困惑的分析，因此让我们将其一点一点地分解以使计算有意义：

最外面的循环运行n-1次迭代（因为1≤i 内部循环的下一个循环为外部循环的每个索引 i 进行（i²-1）迭代（因为1≤j

总的来说，这意味着这两个循环的迭代次数等于对每个1≤i computing the sum of the first n squares，并且是O（n³）的数量级。注意取模运算符％需要花费恒定时间（O（1））来计算，因此，检查这两个循环的所有迭代的条件if (j % i == 0)不会影响O（n³）的运行时间。

现在让我们讨论条件内部的内部循环。
我们感兴趣的是查看条件条件为true时此次数（以及j的值），因为这将指示最内部的循环将运行多少次迭代。实际上，如果j 注意，对于给定的数i，当且仅当i是j的除数时，（j％i == 0）。由于我们的范围是（1≤j 如果这令人困惑，请考虑以下示例：

让我们假设i =4。然后我们的索引j将遍历所有值1，..，15 =i²，和（j％i == 0）对于j = 4、8、12-恰好是（i-1）值是正确的。因此，最里面的循环总共进行（12 + 8 + 4 = 24）次迭代。
因此，对于一般索引i，我们将求和：i + 2i + 3i + ... +（i-1）i，以指示最内层循环将进行的迭代次数。

这可以通过计算该算术级数的总和来概括。第一个值是i，最后一个值是（i-1）i，对于每个i值，k循环的（i³-i²）/ 2次迭代之和。反过来，可以通过计算立方和和平方和来计算所有i值的总和。-最内层循环的O（n⁴）次迭代的总运行时间（ k循环）用于i的所有值。

因此，总的来说，该算法的运行时间将是我们上面计算的两个运行时间的总和。我们检查了if语句O（n³）次，并且最里面的循环运行了O（n inner），因此，假设// Simple computation在恒定时间内运行，我们的总运行时间将降为：

O（n³）+ O（n⁴）* O（1）= O（n⁴）

Answer 2

让我们假设I = 2.然后J的特征可以[1,2,3] .The “K” 循环将对于j = 2只运行。类似地，对于I = 3，J可以是[1,2,3,4,5,6,7,8] .hence中，k可以对于j = 3,6运行。您可以在此处看到一个模式，对于任何i值，'k'循环将运行（i-1）次。循环的长度将为[i，2 * i，3 * i，.... i * i]中。

因此k循环的时间复杂度是

= I +（2 * I）+（3 * I）+ ..... +（I * I）

=（i ^ 2）（i + 1）/ 2

因此，最终的复杂性将是

=（n ^ 3）（n + 3）/ 2

大O这三重嵌套循环？

2 个答案: