这个三层嵌套循环的最大作用是什么？

Question

外环为O（n），第二环为O（n ^ 2），第三环也为O（n ^ 2），但第三环是有条件的。

这是否意味着第三次循环仅发生1 / n次（每n次1次），因此总的大O为O（n ^ 4）？

   for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < (n*n); j++) {
            if (j % i == 0) {
                for (int k = 1; k < (n*n); k++) {
                    // Simple computation
                }
            }
        }
    }

Answer 1

对于介于1和 n 之间的任何给定值 i ，这部分的复杂性：

    for (int j = 1; j < (n*n); j++) {
        if (j % i == 0) {
            for (int k = 1; k < (n*n); k++) {
                // Simple computation
            }
        }
    }

是 O （ ^{n 4} / _i ），因为{ {1}}-条件在时间的第 i 次为真。 （请注意：如果 i 可以大于 n ，那么我们需要编写 O （ ^{n 4} / _i + n ² ）以包含循环迭代的成本，其中if条件为假；但由于已知 i 足够小，因此 ^{n 4} / _i ≥ n ² ，我们不必为此担心。）

因此，将 i 的所有值上不同的循环迭代加在一起的代码总复杂度为 O （ ^{n 4} / ₁ + ^{n 4} / ₂ + ^{n 4} / ₃ +⋯+ ^{n 4} / _n ）́ = O （ n < sup> 4 ·（（ ¹ / ₁ ++ ¹ / ₂ + ^{1 < / sup> / ₃ +⋯+ 1 / _n ）））= O < / em>（ n 4 log n ）。}

（最后一点依赖于这样的事实，因为ln（ n ）是 ¹ / _{x < / sub>从1到 n ，并且 ¹ / x 在该间隔内减小，我们有ln（ n ）<< ln（ n +1）<（（sup> 1 / 1 ++ sup> 1 / 2 + ¹ / 3 +⋯+ ¹ / n ）<< 1 + ln（ n ）。）}