Question

假设您获得了L个n个数字和k<n整数的列表。有没有一种有效的方法来计算k中L个不同数字的所有产品的总和？

例如，请L=[1,3,4,6]和k=2。然后我要找的号码是

1*3 + 1*4 + 1*6 + 3*4 + 3*6 + 4*6。

你能想到一种避免生成大小k的所有子集的方法吗？

Answer 1

设F（X，k，n）为数组X的前n个元素的k乘积和。

F（X，k，n）= F（X，k，n-1）+ F（X，k-1，n-1）* X [n]

您可以使用动态编程解决。复杂度= O（kn）。

F（X，k，n）的结束条件：当n = k F（X，k，k）= X [1] * X [2] * ... * X [n]

更多详情：

F(X,1,1) = X[1]
F(X,1,i) = F(X,1,i-1)+X[i] for i=2...n 

For j=2..n:
    For i = 1..k:
        if i<j:
            F(X,i,j) = F(X,i,j-1)+F(X,i-1,j-1)*X[j]
        else if i==j:
            F(X,i,j) = F(X,i-1,j-1)*X[j]
        else:
            pass

Answer 2

是的，有办法。考虑多项式

(X + a[0]) * (X + a[1]) * ... * (X + a[n-1])

其系数只是k - 产品的总和，其度数为n，因此您可以为所有k计算所有k - 产品的总和同时进行O（n ^ 2）步骤。

在s步之后，X ^s-k的系数是第一个k数组元素的s - 乘积之和。第一个k元素的s+1 - 产品分为两类，即(s+1) ^st元素 - 这些类型的格式为a[s]*((k-1) - 第一个s元素的产品 - 以及那些不涉及它们的产品 - 这些是k - 第一个s元素的产品。

代码使得result[i]是X ⁱ的系数（(n-i) - 产品的总和）：

int *k_products_1(int *a, int n){
    int *new, *old = calloc((n+1)*sizeof(int));
    int d, i;
    old[0] = 1;
    for(d = 1; d <= n; ++d){
        new = calloc((n+1)*sizeof(int));
        new[0] = a[d-1]*old[0];
        for(i = 1; i <= d; ++i){
            new[i] = old[i-1] + a[d-1]*old[i];
        }
        free(old);
        old = new;
    }
    return old;
}

如果您只想要一个k的{{1}} - 产品的总和，则可以在索引k停止计算，给出O（n *（nk））算法 - 如果n-k那就好了。要获得k >= n/2的O（n * k）算法，必须反过来组织系数数组，以便k <= n/2是X ^nk的系数（如果只需要一个总和，则在索引result[k]停止计算：

Answer 3

你可以将k减少1：

e.g。对于k = 2

1*3 + 1*4 + 1*6 + 3*4 + 3*6 + 4*6

==

1*(3+4+6)+3*(4+6)+4*6

并且对于k = 3

1*3*4 + 1*3*6 + 3*4*6

==

1*3*(4+6) + 3*4*6

所以基本上你循环你的列表，然后递归到相同的算法，k减少1，只剩下列表的其余部分

Answer 4

对于k = 2，

让我们s = SUM_x_in_L x（数字之和）和sq = SUM_x_in_L x^2（正方形之和）

然后它是SUM_x_in_L (s - x) * x / 2 = (s * s - sq) / 2

Answer 5

您可以探索的一个有趣的属性是乘法与加法相关的分配属性。

L=[a,b,c,d]

当k = 1时，它是微不足道的：

S=a+b+c+d

当k = 2时：

S = a * (b + c + d) + b * (c + d) + c * d

当k = 3时，事情会变得更有趣：

S = a * b * ( c + d) + (c * d) * (a + b)
S = a * (b * (c + d)) + c * d) + b * (c * d)  <-- this form lends itself better to the algorithm

对于k = 4：

S = a * b * c * d

这应该适用于较大的n值。

C＃中的实现：

 private static int ComputeSum(int[] array, int offset, int K)
 {
     int S = 0;

     if (K == 1)
     {                      
         for (int i = offset; i < array.Length; i++)
             S += array[i];
     }
     else if ((array.Length - offset) == K)
     {
         S = array[offset] * ComputeSum(array, offset + 1, K - 1);
     }
     else if (offset < array.Length)
     {
         S = ComputeSum(array, offset + 1, K) + array[offset] * ComputeSum(array, offset + 1, K - 1);             
     }

     return S;
 }

通过记忆可以进一步改进。

Answer 6

代数地，对于k=2，只需取L的元素之和，将其平方，然后减去L的平方和。那就是：

int sum = 0;
int sqSum = 0;
for (int i=0; i<n; ++i) {
    sum += L[i];
    sqSum += L[i]*L[i];
}
return sum*sum - sqSum;

在您的示例中，您正在计算的是

(1 + 3 + 4 + 6)^2 - (1^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2) = 1*3 + 1*4 + 1*6 + 3*4 + 3*6 + 4*6

这应该会为您提供一般性的提示。

高效算法计算所有k产品的总和

6 个答案: