Question

我想计算给定$ N $元素集的每个子集的乘积之和。例如，给定集合{1,2,3}，答案是1 + 2 + 3 + 1 * 2 + 1 * 3 + 2 * 3 + 1 * 2 * 3.我还想给出模数$ M $

我所知道的是我可以计算$（x - a_1）（x - a_2）...（x - a_n） - 1 $，但这会涉及FFT，因此可能存在一些舍入误差，但是这个想法的主要问题是需要$ O（N \ log ^ 2 N）$时间并且模数$ M $是有问题的。有没有更快的方法来解决这个问题？这不是我的功课，我从老师那里得到了这个任务到练习编程比赛，但我真的遇到了这个问题。

约束：

$ a_i \ le 10 ^ 9 $

$ N \ le 10 ^ 6 $

$ M \ le 10 ^ 9 $

Answer 1

有问题的总和是

[(1+a_1)*(1+a_2)*(1+a_3)*...*(1+a_N) - 1] (mod M)

这是

[(1+a_1)%M * (1+a_2)%M * ... * (1+a_N)%M - 1] % M

如果你能做得更好，我会感到惊讶。

这是一个Python实现：

def sumProducts(nums, M):
    p = 1
    for num in nums:
        p = p*((1+num)%M)%M
        if p == 0:
            return M-1
    return (p-1)%M

我上面提到的天真公式的优化是采用每个新因子的产品模数，并在遇到零时使产品短路 - 如果质数因素（计数符合多重性）将会发生这种情况）出现在(1 + a_i)

中

一个简单的测试：

>>> sumProducts([1,2,3],5)
3

易于手工验证。

压力测试：

>>> from random import randint
>>> nums = [randint(1,1000000) for i in range(100000)]

nums是一百万个随机数，范围为1到100万

当然，

>>> sumProducts(nums,2**32)
4294967295

因为nums中至少有32个奇数（因此a_i为偶数的32个数字1+a_i。

另一方面，1000003是一个大于1000000的素数，因此计算不会短路：

>>> sumProducts(nums,1000003)
719694

计算需要一秒钟。

所有子集的产品总和，

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