子集的乘积和

Question

此操作有名称吗？并且：有一个封闭形式的表达吗？

• 对于给定的n个元素集合，值k在1和n之间，
• 获取k个项目的所有子集（组合）
• 查找每个子集的产品
• 查找所有这些产品的总和

我可以在Python中表达这一点，并且很容易进行计算：

from operator import mul
from itertools import combinations
from functools import reduce
def sum_of_product_of_subsets(list1, k):
    val = 0
    for subset in combinations(list1, k):
        val += reduce(mul, subset)
    return val

我只是在寻找封闭的表单表达式，以便在设置大小变大时避免循环。

请注意，这与此问题不同：Sum of the product over all combinations with one element from each group - 该问题是关于笛卡尔积的乘积和。我正在寻找大小为k的组合集的乘积和;我不认为它们是一样的。

要清楚，对于set（a，b，c，d），则：

k = 4 --> a*b*c*d
k = 3 --> b*c*d + a*c*d + a*b*d + a*b*c
k = 2 --> a*b + a*c + a*d + b*c + b*d + c*d
k = 1 --> a + b + c + d

只是寻找表达;无需专门提供Python代码。 （如果您想提供示例实现，任何语言都是说明性的。）

Answer 1

这些是elementary symmetric polynomials。您可以使用维基百科中的求和符号来编写它们。您也可以使用Vieta's formulas一次性获取所有这些作为多项式的系数（最多符号）

(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_k) =
   x^k -
   (a_1 + ... + a_k) x^(k-1) +
   (a_1 a_2 + a_1 a_3 + ... + a_(k-1) a_k)) x^(k-2) +
   ... +
   (-1)^k a_1 ... a_k

通过展开（x-a_1）（x-a_2）...（x-a_k），您将获得一个多项式时间算法来计算所有这些数字（您的原始实现以指数时间运行）。

编辑：Python实现：

from itertools import izip, chain

l = [2,3,4]

x = [1]    
for i in l:
    x = [a + b*i for a,b in izip(chain([0],x), chain(x,[0]))]
print x

这给你[24,26,9,1]，因为2 * 3 * 4 = 24,2 * 3 + 2 * 4 + 3 * 4 = 26,2 + 3 + 4 = 9。最后一个是空产品，在您的实现中对应于k = 0.

这应该是O（N ² ）。使用多项式FFT你可以做O（N log ² N），但我懒得编码。

Answer 2

我在其他地方遇到了同样的问题，我可能会有一个更简单的解决方案。 基本上你正在寻找的封闭形式就是这个：

（1 + e_1）*（1 + e_2）*（1 + e_3）* ... *（1 + e_n） - 1

考虑集合S = {e_1，e_2，...，e_n}

原因如下：

让'm'成为S元素的乘积（n = e_1 * e_2 * ... * e_n）。
如果你看一下子集元素的原始产品，你可以看到，所有这些产品都是'm'的除数。
现在将Divisor函数应用于'm'（从现在开始称为sigma（m））并进行一次修改：将所有e_i元素视为'primes'（因为我们不希望它们被分割），所以这给出了sigma（e_i ）= e_i + 1。

然后，如果你将sigma应用于m：

sigma(m)=sigma(e_1*e_2*...*e_n)=1+[e_1+e_2+...+e_n]+[e_1*e_2+e_1*e_3+...+e_(n-1)*e_n]+[e_1*e_2*e_3+e_1*e_2*e_3+...+e_(n-2)]+...+[e_1*e_2*...*e_n]

这就是最初的问题。 （除了开头的1）。 我们的除数函数是乘法的，所以前面的等式可以改写如下：

sigma(m)=(1+e_1)*(1+e_2)*(1+e_3)*...*(1+e_n)
这里有一个你需要的修正。这是因为空子集（这里考虑了它，但在原始问题中它不存在），其中包括总和中的'1'（在第一个方程的开头）。 所以封闭的形式，你需要的是：
(1+e_1)*(1+e_2)*(1+e_3)*...*(1+e_n) - 1

抱歉，我无法真正编写代码，但我认为计算不应超过2n-1个循环。

（您可以在此处详细了解除数函数：http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function）