我需要计算1＆lt; = k＆lt; = N的phi（k）之和，其中N = 1,000,000且phi（k）是Euler的函数。这是一个项目欧拉问题。我已经使用之前的StackOverflow question解决了它，它要求计算phi（k）的每个值为1＆lt; k＆lt; N.但是，我想知道是否可以进一步优化，因为我们只需要phi（k）的最终总和而不是每个加数的单个值。
答案 0 :(得分：4)
Wikipedia page on Euler's totient function包括一个公式，由于Arnold Wafisz得到k从1到n的φ（k）之和：
sum(1<=k<=n) φ(k) = (1 + sum(1<=k<=n) μ(k)*(floor(n/k))^2) / 2
（在维基百科上阅读起来容易得多。）
如果 k 具有任何平方素因子，则Möbius functionμ（ k ）为0，否则（-1） f 其中 f 是 k 中唯一素因子的数量。 （换句话说，如果 k 的素数因子化具有偶数个唯一素数，则为1;如果它具有奇数，则为-1;如果某个素数出现多次，则为0。）应该能够使用修改过的筛子快速计算μ（ k ）。
这可能会更快一些。