Question

给出长度 n 的数组。找到子数组元素的乘积之和。

解释

数组 A = [2,3,4] 长 3 。

长度 2 = [2,3]，[3,4]，[2,4]

的子阵列

[2,3] = 6

中的元素产品

[3,4] = 12

中的元素产品

[2,4] = 8

中的元素产品

长度 2 = 6 + 12 + 8 = 26

的子阵列总和

同样，对于长度 3 ，Sum = 24

因为，对于更长的子阵列，产品可能更大，以模 1000000007 计算。

为所有可能长度的子阵列找到这些总和的有效方法是什么，即1,2,3，......，n其中 n 是数组的长度。

Answer 1

有一个相当简单的方法：
构建术语(1 + A[i] * x)的产品：

P = (1 + A[0] * x) * (1 + A[1] * x) * (1 + A[2] * x)...*(1 + A[n-1] * x)

如果我们打开括号，那么我们将得到多项式

P = 1 + B[1] * x + B[2] * x^2 + ... + B[n] * x^n

Kth系数B [k]等于长度为K的集合的乘积之和 - 例如B[n] = A[0]*A[1]*A[2]*..A[n-1], B[2] = A[0]*A[1] + A[0]*A[2] + ... + A[n-2]*A[n-1]等等。

因此，为了找到所有可能集合的乘积之和，我们必须找到x = 1的多项式P的值，然后减去1以去除前导的第0项。如果我们不想考虑单元素集，则减去B1 = A [i]之和。

示例：

(1+2)(1+3)(1+4) = 60
60 - 1 = 59
59 - (2 + 3 + 4) = 50 = 24 + 26 - as your example shows

Answer 2

我们首先创建一个递归关系。设f(n, k)为长度为k的长度为a的长度为n的子数组的所有乘积。基本案例很简单：

f(0, k) = 0 for all k
f(n, 0) = 1 for all n

第二条规则似乎有点违反直觉，但1是乘法的零元素。

现在我们找到了f(n+1, k)的递归关系。我们想要所有大小为k的子数组的乘积。这里有两种类型的子阵列：包含a[n+1]的子阵列和不包含a[n+1]的子阵列。不包括a[n+1]的那些的总和恰好是f(n, k)。包含a[n+1]的内容恰好是所有添加了k-1的长度为a[n+1]的子数组，因此它们的总和乘积为a[n+1] * f(n, k-1)。

这完成了我们的递归关系：

f(n, k) = 0                               if n = 0
        = 1                               if k = 0
        = f(n-1, k) + a[n] * f(n-1, k-1)  otherwise

你可以使用一个巧妙的技巧来为动态编程使用非常有限的内存，因为函数f仅依赖于两个早期的值：

int[] compute(int[] a) {
    int N = a.length;
    int[] f = int[N];
    f[0] = 1;

    for (int n = 1; n < N; n++) {
        for (int k = n; k >= 1; k--) {
            f[k] = (f[k] + a[n] * f[k-1]) % 1000000007;
        }
    }

    return f;
}

所有长度为k

2 个答案: