从一组n个元素中取k个元素的乘积之和

Question

给定具有S元素的n集和k整数。我需要找到所有n选择k对的产品总和。也就是说，如果是S = {1,2,3,4} and k = 2，那么我正在寻找P = 1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*3 + 2*4 +3*4。请注意，产品对构成了集合 - 从一组k元素中获取n个不同的元素。我可以制定一个简单的动态编程版本：

P(n,k) = a_{n}P(n-1,k-1) + P(n-1,k)

也就是说，选择n-1元素并选择k-1并添加a_{n}，同时省略a_{n}。是否有一些很好的理论可以找到解决上述问题的封闭式解决方案？我对高级数学有点缺乏，虽然编程让我很兴奋。我能够得出上述的DP，但无法进入一个我希望有的封闭形式！

Answer 1

我不知道它是否真的有用，但我发现你正在描述elementary symmetric polynomials。

此外，本文似乎对您有用：

Computing Elementary Symmetric Polynomials with a Sub-Polynomial Number of Multiplications

Answer 2

给定n，k，因为你已经定义了它们：

要求总和的产品数量＃（n，k）由

给出

（n，k）= C（n + k-1，k-1），其中C（a，b）是组合函数，即

     a objects selected b at a time. 

此外，＃（n，k）= k *＃（n-1，k） - （n-1）*＃（n，k-1）。