如何通过总和枚举集合的所有k组合？

Question

假设我有一组有限的大小为n的数值。

问题：是否有一种有效的算法来枚举该组的k组合，以便组合I在组合J之前，如果I中元素的总和小于或等于J？

中的元素

---

显然，可以简单地枚举组合并根据它们的总和对它们进行排序。但是，如果集合很大，那么所有组合的粗略枚举，更不用说排序，将是不可行的。如果我只对获得第一个m＆lt;＆lt;＆lt;选择（n，k）组合按总和排序，是否有可能在宇宙热死之前获得它们？

Answer 1

没有用这种方式枚举集合的多项式算法（除非P=NP）。

如果有这样的算法（让它成为A），那么我们可以多项式求解subset sum problem：

1. 跑A
2. 进行二元搜索，找到最接近所需数字的子集。

请注意，步骤1以多项式（假设）运行，第2步在O(log(2^n)) = O(n)中运行。

结论：由于子集和问题是NP-Complete，有效地解决这个问题将证明P = NP - 因此没有已知的多项式解决方案。

---

修改：即使问题是NP-Hard，通过选择最小的m，可以在O(n+2^m)上获取“最小”m子集元素，从这些m元素生成所有子集 - 并选择那些元素的最小m。因此，对于相当小的m值 - 计算它可能是可行的。