Question

我意识到有很多关于组合和枚举的问题，但我已经四处寻找，并没有发现任何与我所追求的有关的内容。如果我错过了什么，请指出我，问题可以关闭。

所以，假设我们有一组N个元素，并且我们有x个正整数k1，...，kx，其中Sum（k1，...，kx）＆lt; = N.我想列举所有方法我可以从原始的N组中选择（不替换）给定大小的x个子集。

我希望我说的正确。如果我没有，一个简单的例子 N = 4，x = 2，k1 = 2，k2 = 1。

我们应该枚举

在一般情况下，我认为总计数为：

C（N，k1）* C（N-k1，k2）* ... * C（N-Sum（k1，...，kn-1），kn）。

我最初的猜测是，这可以使用堆栈相当容易地完成。在每个堆栈级别i，将使用标准组合枚举生成子集ki，或者从每个级别的源集合中移除已经选择的元素，或者仅从原始集合中枚举并跳过之前已经包括元素的情况。

我的问题是，是否有更快/更优雅的解决方案？

Answer 1

您的问题正是枚举多集的排列问题。（假设您的k _i已订购）。

首先，注意问题完全等同于Σk= N的问题，因为如果Σk＆lt; N，我们可以简单地添加k _{x + 1}，其值为N - Σk。

现在，将原始集合S的元素置于某个任意固定的顺序，并生成由k ₁ 1，k ₂ 2，k组成的多集合的每个排列。 ₃ 3's，... k _x x's。这个多集合具有相同的S（S）大小，因为k _i的加起来为N.我们通过将S中的每个元素分配给索引为对应的子集来创建S的分区。多重集的排列值。

例如，S = {apple，banana，chirimoya，date}（N = 4）。我们取k ₁ = 2并且k ₂ = 1并且添加k ₃ = 1以使总和为4.（我们只是忽略分配给子集3的元素。现在我们列举多重集1 1 2 3的排列（它有两个1，一个2和一个3，对应于k）：

1 1 2 3    1 2 3 1    2 1 1 3    3 1 1 2
1 1 3 2    1 3 1 2    2 1 3 1    3 1 2 1
1 2 1 3    1 3 1 1    2 3 1 1    3 2 1 1

我们将这些转换回S的分区。例如，取1 3 1 2：

apple     1 -> subset 1
banana    3 -> unused
chirimoya 1 -> subset 1
date      2 -> subset 2

所以我们有{{apple, chirimoya}, {date}}

用于查找集合的排列的standard algorithm在多集合上也可以正常工作，尽管如果多集合有很多重复，它并不是最佳的。