Question

这是我正在努力的练习考试中的一个问题：

设G =（V，E）为加权无向连通图，为正   权重（您可以假设权重不同）。鉴于真实   数字r，定义子图Gr =（V，{E in E | w（e）＆lt; = r}）。对于   例如，G0没有边缘（明显断开连接），Ginfinity = G.   （通过假设连接）。问题是要找到   最小的r使得Gr连接起来。

描述一个解决问题的O（mlogn）时间算法   重复申请BFS或DFS。

真正的问题是在O（mlogn）中进行。这就是我所拥有的：

r = min( w(e) )                            => O(m)
while true do                              => O(m) 
  Gr = G with edges e | w(e) > r removed     => O(m)
  if | BFS( Gr ).V | < |V|                   => O(m + n)
    r++ (or r = next smallest w(e))          
  else
    return r

这是一个惊人的O（m ^ 2 + mn）。任何将它降到O（mlogn）的想法？谢谢！

Answer 1

以下算法怎么样？

首先从图中获取所有边（或所有不同边长，使用）的列表并对它们进行排序。这需要O（m * log m）= O（m * log n）时间：m通常小于n ^ 2，因此O（log m）= O（log n ^ 2）= O（2 * log n） = O（log n）。

很明显，r应该等于某些边缘的重量。因此，您可以对已排序数组中的边的索引进行二进制搜索。

对于您尝试的每个索引，将对应边的长度设为r，并检查图的连通性，仅使用长度＆lt; = r与BFS或DFS的边。

二进制搜索的每次迭代都需要O（m），你必须进行O（log m）= O（log n）次迭代。

Answer 2

您正在迭代所有可能的边缘成本，这导致外部循环为O（m）。请注意，如果在丢弃所有边＆gt; w（e）时断开图形，则对于＆gt; w（e'）w(e') < w(e)也会断开连接。您可以使用此属性对边成本进行二进制搜索，从而在O（log（n））中执行此操作。

lo=min(w(e) for e in edges), hi=max(w(e) for e in edges)
while lo<hi:
   mid=(lo+hi)/2
   if connected(graph after discarding all e where w(e)>w(mid)):
       lo=mid
   else:
       hi=mid-1
return lo

二进制搜索的复杂度为O（log（max_e-min_e））（实际上可以将其降低到O（log（边缘））并丢弃边缘并确定连接可以在O（边缘+顶点）中完成，所以这可以在O（（edge + vertices）* log（edges））中完成。

警告：我还没有在代码中对此进行测试，因此可能存在错误。但这个想法应该有效。

使用BFS的图最小生成树

2 个答案: