不同的最小生成树

Question

对于连接的，加权的，无向的图形G： G具有唯一的MST，如果每个G切割都有一个唯一的最小权重边缘穿过该切割。

这句话是真的吗？

我认为是错误的，因为对于给定链接中的下图，可能存在多个MST。

https://drive.google.com/file/d/1yDK3juPxeDBdS-aEOx0aAsphy4odZ55l/view?usp=drivesdk

Answer 1

如果您的意思是连通图G，则边成本都不同。然后，G具有唯一的最小生成树。

证明： 假设有两个不同的MST，分别称为T1和T2，它们具有不同的边集-T1的{t11，t12，…t1n-1}和T2的{t21，t22，…t2n-1}。因此，令ti为仅在T1（而不是T2）中权重最小的边缘。由于它是最小的，因此必须将其包含在MST的“所有选择”中。也就是说，T1和T2的MST都会拥有它。但这与ti的定义相矛盾。