Question

假设有一个ODE y''+ ay = 0，边界条件为y'（0）= 0且y'（1）= 0.如何使用Mathematica找到特征值和本征函数？如果给出一个更一般的ODE，假设y''+（y ^ 2 - 1/2）y = 0且具有相同的边界条件会怎么样？

Simon的评论已经回答了这个问题。

Answer 1

DSolve仅提供“通用”参数的解决方案，这就是

的原因

DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0 && y'[0] == 0 && y'[1] == 0, y, x]

只返回普通的{{y -> Function[{x}, 0]}}。

如果你认为$ -a ^ 2 $是具有0速度边界条件的二阶导数算子的特征值，首先求解

In[1]:= sol = DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0, y, x]
Out[1]= {{y -> Function[{x}, C[1] Cos[a x] + C[2] Sin[a x]]}}

然后使用Reduce强制执行边界条件（为了简化结果，我还假设a != 0 并且sol并非无足轻重）

In[2]:= Reduce[y'[0] == 0 && y'[1] == 0 && 
               a != 0 && (C[1] != 0 || C[2] != 0) /. sol, 
               a] // FullSimplify

Out[2]= Element[C[3], Integers] && C[2] == 0 && C[1] != 0 && 
        ((a == 2*Pi*C[3] && a != 0) || Pi + 2*Pi*C[3] == a)

表示特征向量与$ \ cos（ax）$成比例，$ a = 2 n \ pi $或$ a =（2 n + 1）\ pi $，$ n $整数。

至于你问题中的第二个等式，只讨论线性算子的特征向量是有意义的。对于非线性微分方程，特征向量可用于检查临界点周围的线性化行为。

在Mathematica中寻找ODE的特征值和本征函数

1 个答案: