什么是O(log(n!))和O(n!)？我相信它是O(n log(n))和O(n^n)？为什么？
我认为这与斯特林近似有关，但我没有得到很好的解释。
如果我错了（约O(log(n!) = O(n log(n))），有人可以纠正我吗？如果可能，数学用简单的术语表示？我认为我不需要证明实际上我只是想知道它是如何工作的。
答案 0 :(得分：65)
O(n!)不等同于O(n^n)。它渐近地小于O(n^n)。
O(log(n!))等于O(n log(n))。这是一种证明：
请注意，通过使用日志规则log(mn) = log(m) + log(n)，我们可以看到：
log(n!) = log(n*(n-1)*...2*1) = log(n) + log(n-1) + ... log(2) + log(1)
证明 O(log(n!)) ⊆ O(n log(n))：
log(n!) = log(n) + log(n-1) + ... log(2) + log(1)
小于：
log(n) + log(n) + log(n) + log(n) + ... + log(n) = n*log(n)
因此O(log(n!))是O(n log(n))
证明 O(n log(n)) ⊆ O(log(n!))：
log(n!) = log(n) + log(n-1) + ... log(2) + log(1)
哪个大于（表达式的左半部分，所有(n-x)替换为n/2：
log(n/2) + log(n/2) + ... + log(n/2) = floor(n/2)*log(floor(n/2)) ∈ O(n log(n))
所以O(n log(n))是O(log(n!))的子集。
从O(n log(n)) ⊆ O(log(n!)) ⊆ O(n log(n))开始，它们就等同于大班哦。
答案 1 :(得分：9)
通过斯特林的近似，
log(n!) = n log(n) - n + O(log(n))
对于大n，右侧由术语n log（n）支配。这意味着O（log（n！））= O（n log（n））。
更正式地说，"Big O"的一个定义是f（x）= O（g（x））当且仅当
lim sup|f(x)/g(x)| < ∞ as x → ∞
使用斯特林的近似，使用这个定义很容易显示log（n！）∈O（n log（n））。
类似的论点适用于n！。通过取斯特林近似两边的指数，我们发现，对于大n，n！行为渐近地像n ^（n + 1）/ exp（n）。由于n / exp（n）→0为n→∞，我们可以得出n！ ∈O（n ^ n）但O（n！）不等于O（n ^ n）。 O（n ^ n）中的函数不在O（n！）中（例如n ^ n本身）。