Question

因此，显然，log（n）是O（n）。但是，（log（n））^ 2怎么样？那么sqrt（n）还是log（n） - 什么界限是什么？

有一系列这样的比较：
n ^ a与（log（n））^ b

我经常遇到这些比较，我从来没有想出一个很好的解决方法。解决一般案例的策略提示？

谢谢，
伊恩

编辑：我不是在谈论计算这些函数值的计算复杂性。我在谈论功能本身。例如，f（n）= n是g（n）= log（n）的上限，因为对于c = 1和n0>，f（n）<= c * g（n）。 0.

Answer 1

log（n）^ a总是O（n ^ b），对于任何正常数a，b。

您在寻找证明吗？通过以下技巧可以将所有这些问题简化为看到log（n）为O（n）：

log（n）^ a = O（n ^ b）相当于： log（n）= O（n ^ {b / a}），因为提高到1 / a功率是一个增加的函数。这相当于 log（m ^ {a / b}）= O（m），通过设置m = n ^ {b / a}。这相当于log（m）= O（m），因为log（m ^ {a / b}）=（a / b）* log（m）。

你可以通过归纳证明log（n）= O（n），重点关注n是2的幂的情况。

Answer 2

我经常遇到这些比较（...）解决一般情况的策略提示？

关于一般情况，以及您对此类问题的大量关注。这是我的建议：

一旦您知道，请使用limit definition of BigO notation：

f(n) = O(g(n)) iff limit (n approaches +inf) f(n)/g(n) exists and is not +inf

您可以使用Computer Algebra System，例如开源Maxima，此处位于Maxima documentation about limits。

For more detailed info and example - check out THIS answer

Answer 3

log n -- O(log n)
sqrt n -- O(sqrt n)
n^2 -- O(n^2)
(log n)^2 -- O((log n)^2)

n^a与(log(n))^b

你需要基地或权力相同。因此，请使用数学将n^a更改为log(n)^(whatever it gets to get this base)或(whatever it gets to get this power)^b。没有一般情况

对数与幂的渐近复杂性

3 个答案: