NIntegrate无法收敛到不在我的定积分内的点附近？

Question

我正在尝试计算一个确定的积分。我写道：

NIntegrate[expression, {x, 0, 1}, WorkingPrecision -> 100]

“表达”描述如下。添加了WorkingPrecision以帮助解决另一个错误。

我收到错误：

  

“NIntegrate :: ncvb：NIntegrate未能收敛到规定   在{x} = {＆lt;＆lt;＆gt;＆gt;＆gt;}附近的x中的9个递归二分之后的准确度。   获得的NIntegrate＆lt;＆lt; 157＆gt;和＆lt;＆lt;＆lt;＆gt;＆gt;为积分和错误   估计。 ＆GT;＆gt;“中

为什么当我只查看near{x} = {<<156>>}时，我为0<x<1收到此错误？数字周围的双尖括号是什么意思？

表达式真的很长，所以我认为展示如何生成它会更有意义。这是一个基本版本（一些指数我需要变量，但这些是最低值，我仍然得到错误。）

F[n_] := (1 - (1 - F[n-1])^2)^2;
F[0] = x;
Expr[n_]:= (1/(1-F[n]))Integrate[D[F[n],x]*x,{x,x,1}];

当我集成Expr [3]或更高版本时，我收到错误。奇怪的是，当我使用常规积分然后在最后使用// N时，我得到一个n = 2的复数。

Answer 1

<<156>>并不意味着正在x=156评估积分。 <<>>被称为Skeleton，用于表示大输出被抑制。来自文档：

  

Skeleton[n]   表示打印有n或Short的表达式中Shallow个省略元素的序列。 Skeleton的标准打印表单为<<n>>。

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来到你的积分，这是我得到的错误：

所以你可以看到你的情况下这个长号被抑制了（取决于你的喜好）。最后一个>>是一个链接，可以将您带到文档中的相应错误消息。

如果您尝试使用文档中的建议（即增加MaxRecursion），您最终会收到新错误::slwcon

所以这现在告诉你，你的WorkingPrecision太小或你有一个奇点（由一个小的工作精度引起）。将WorkingPrecision增加到200会得到以下输出：

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您可以进一步了解表达的本质。

num = Numerator@Expr@3;
den = Denominator@Expr@3;
Plot[{num, den}, {x, 0, 1}, WorkingPrecision -> 100, PlotRange -> All]

超过0.7ish，你的表达有可能导致严重的稳定性问题，导致奇点。它是分子而不是分母，需要高精度才能收敛到正确的值。

num /. x -> 0.99
num /. x -> 0.99`100

Out[1]= -0.015625
Out[2]= 1.2683685178049112809413795626911317545171610885215799438968\
06379991565*10^-14

den /. x -> 0.99
den /. x -> 0.99`100

Out[3]= 1.28786*10^-14
Out[4]= 1.279743968014714505561671861369465844697720803022743298030747945923286\
915425027352809730413954909*10^-14

当你没有足够的精度时，你可以看到分子和分母之间的差异，导致接近奇点。