找到一个不在任何旋转矩形内的点

Question

我正在寻找能够快速（我受性能严重限制）的算法找到圆内的一个点，这个点在所提供的集合中的所有矩形之外（这些矩形可以旋转）。 或者，找到一个圆圈A，其中心位于圆圈B内，圆圈A不与一组线段相交。

我能想出的唯一解决方案是循环遍历点的样本，然后遍历每个点的矩形。但由于我的空间是连续的，这非常痛苦。我基本上只对一个不相交的点感到满意，但是会出现没有这样的点的情况。在后一种情况下，我最好尝试找到交点最少的点，或者能够找到没有这一点的答案。

有没有人知道任何能在低于O（n ^ 2）的情况下完成此任务的算法？任何有助于识别好候选点的东西都会很棒。

这种情况的一个典型例子是： 很多大的矩形，有一个小圆圈，我希望找到一个点（这里用蓝色表示）。很常见的是，许多矩形完全落在圆圈之外，并且通常圆圈完全被覆盖。只有一小部分长度和宽度倾向于用于矩形。

Answer 1

可能来自sub-n ^ 2的想法取决于矩形的排列方式：

明确计算可能的区域。

表示它的数据结构是一个非重叠子区域的列表，每个子区域都是一个三角形（如果你接近圆圈）或一个＆＃34;庞大的三角形＆＃34; （其中一边可以是圆弧段）。

首先是圆圈的三等分（或表示它的一组三角形），然后连续减去矩形。您可以通过交叉可行区域的每个子区域来实现这一点，从而产生一组（可能是空的）新子区域。

这可能起作用的方式是，在任何给定时间，可行的子区域的数量可能很小。处理一对矩形和子区域具有O（1）上限，因此如果我们期望m个子区域将是手波形O（nm）。在最坏的情况下，这可能比O（n ^ 2）差得多（比如在圆圈中完全包含许多不相交的矩形），但在典型的情况下（大矩形，小圆圈），子区域的数量可能不会超过39; t增长很高，然后几乎是O（n）＆＃34;。

可行区域可以是链接列表，您只需在末尾添加子区域并在开头删除它们，因此访问可以是恒定时间。

子区域（如果有的话）是凸的并且不重叠，因此一旦计算出可行区域，得到它内部的点将是微不足道的。

Answer 2

可能有几种有趣的方法可以做到这一点。我能想到的最简单的算法可以提供良好的运行时，其算法如下：

1. 将所有矩形视为一组线段。
2. 使用高效的算法来查找所有线段的交点（例如Bentley-Ottmann algorithm。）
3. 创建兴趣点（POI）的列表，这些兴趣点可以是a）矩形的角或b）2中计算的交点。
4. 创建一组更精细的线段，以使每个线段都终止于3中定义的POI。
5. 使用POI和来自4的更细的线段集，计算约束三角剖分（例如Constrained Delaunay Triangulation。）
6. 选择任何（未标记）三角形开始。确定三角形是否位于至少一个矩形内（将其标记为COVERED三角形）或否（将其标记为FREE三角形）。为此，您可以使用任何point in polygon算法，例如光线投射。
7. 首先从该三角形开始进行深度或广度搜索，然后扩展到邻居，请注意不要在需要穿过4中定义的线段的任何三角形对之间交叉。对于每个访问的三角形，将其标记为相同的标签作为起始三角形。
8. 重复6-7，直到标记了所有三角形（或标记了覆盖感兴趣圆的所有三角形。）

与感兴趣的圆相交的所有FREE三角形的并集，将精确地产生未被任何矩形覆盖且在圆内的点。

请注意，此算法有点通用，可以通过仅将焦点集中在圆周围的区域进行改进（例如，只能考虑边界框区域，边界框包含与该圆相交的所有矩形。）

要分析运行时，请考虑每个关键步骤的运行时：

• 1. 运行时为O（（n + k）log n），其中k是交叉点数，其中n是线段数。
• 1. 运行时为O（m log m），其中m为POI数，m为O（n + k）
• 1. 和7.应该一起分析。在最坏的情况下，每个三角形都需要O（n）计算以检查矩形中的包含性。假设有O（m）个三角形，这将产生O（nm）界。但是，三角剖分的目的是将多边形计算中的点重新用于播种三角形，以标记尽可能多的相邻三角形。实际上，在多边形计算中需要一个点的三角形数量应该可以忽略不计。因此，此步骤的运行时间为O（tn），其中t是为其执行多边形计算中的点的链齿的数量。

因此，期望的运行时间为O（（n + k）log n + t（n + k）），其中k是步骤2中的交点数，t是多边形计算中该点的三角形数执行。在最坏的情况下，这是O（n ^ 2 log n），因为您可以创建具有n ^ 2个交集的病理示例，但是如果不可能的话，这应该不太可能。同样，应将数量t保持最小，以使其尽可能有效。如果t << n和k << n ^ 2都非常有效。

一种可以提高性能的近似值：

• 考虑通过一组r线段来近似圆，并在步骤1-5中包括这些线段。尽管这是一个近似值，但它可能会改善运行时间，因为只需要考虑圆内的三角形即可。