查找最小生成树是否包含线性时间的边？

Question

我的作业存在以下问题：

  

给出一个O（n + m）算法来找出边e是否是图的MST的一部分

（我们被允许在这项任务中获得其他人的帮助，所以这不是作弊。）

我认为我可以做一个BFS并找出这个边是两个层之间的边缘，如果是这样，这个边是否是这些边的最小边。但是当这个边缘不是BFS树的树边缘时，我能说什么呢？

Answer 1

作为提示，如果边缘不是包含它的任何循环中最重的边缘，则有一些MST包含该边缘。要看到这一点，请考虑任何MST。如果MST已经包含边缘，太棒了！我们完成了。如果没有，则将边缘添加到MST中。这会在图表中创建一个循环。现在，找到该循环中最重的边缘并将其从图形中移除。一切现在仍然连接（因为如果两个节点过去通过一条穿过该边缘的路径连接，现在它们可以通过绕另一个循环来连接）。此外，由于边缘的成本被删除并不比任何边缘的成本小（因为边缘不是周期中最重的边缘），这棵树的成本不能大于之前。因为我们从MST开始，所以我们必须以MST结束。

使用此属性，查看是否可以在线性时间内找到边缘是否是任何周期中最重的边缘。

Answer 2

我们将使用MST cycle property来解决这个问题，其中说明，＆＃34;对于图中的任何周期C，如果C的边e的权重大于C的所有其他边的权重，那么这个边缘不能属于MST。＆＃34;

现在，运行以下O(E+V)算法来测试连接顶点u和v的边E是否是某个MST的一部分。

第1步

从边缘E的一个端点（u或v）运行dfs，只考虑那些权重小于E的边缘。

第2步

案例1 如果在此dfs的末尾，顶点u和v连接，则边E不能是某些MST的一部分。这是因为在这种情况下，图中肯定存在一个周期，边E具有最大权重，并且它不能是MST的一部分（来自循环特性）。

案例2 但是如果在dfs u和v的末尾保持断开连接，则边E必须是某些MST的一部分，因为在这种情况下，E绝不是它所属的周期的最大权重边缘。

Answer 3

查找是否有比当前路径（u，v）更便宜的路径，为u和v创建一个循环。如果是，则（u，v）不在mst上。否则就是。这可以通过cut属性和循环属性来证明。