证明没有最小生成树包含最大加权边

Question

假设有图G，它的所有边都具有对应于不同整数的权重。所以没有两条边具有相同的重量。 令E为G的所有边。令emax为E中具有最大权重的边。 图G的另一个特性是每个边e都属于G中的某个周期。

我必须证明G的最小生成树没有包含边emax。

我可以看出为什么会这样，因为所有边都是不同的，并且每条边都属于一个循环，最小生成树算法可以简单地选择包含emax的循环中权重较低的边。 但我不确定如何具体证明它。

Answer 1

这与the Cycle Property of the Minimum Spanning Tree有关，基本上说在给定图形中的循环时，权重最大的边缘不属于MST（在上面的链接中很容易通过矛盾证明）。因此，由于边emax属于一个循环，因此不得在MST中。

Answer 2

矛盾证明在这里起作用。假设您有一个包含最大边缘的最小生成树。如果删除该边缘，则有两个组件不再相互连接。每个顶点都在一个组件中或另一个组件中。有一个包括最大边缘的循环。从最大边缘一侧的顶点开始，沿着循环移动。因为您最终会循环到另一个组件中最大边缘的另一侧 - 在此之前 - 将找到一个边缘，其中一个断开的组件中有一个顶点，另一个断开的组件中有一个顶点。由于组件断开连接，因此边缘不在最小生成树中。通过将其添加到树中，您可以重新连接组件并创建一个重量比开始时小的最小生成树 - 因此您最初的最小生成树不是最小值。

Answer 3

  

MST是否包含最大权重边缘？

有时，是的。 这取决于图表的类型。如果具有最大权重的边是唯一连接图的组件的桥，则该边也必须存在于MST中。