Question

如果我们有一个（任意）连接的无向图G，其边缘具有不同的权重，

另外，如果有人可以提供一些在处理此类MST问题时必须记住的关键事项，我会更感谢。

这是一个家庭作业问题。感谢。

Answer 1

G的MST是否包含最大加权边？

可能有，但没有必要。考虑如下的4顶点图：

[A]--{2}--[B]
 |         |
 |         |
{1}       {3}
 |         |
 |         |
[C]-{50}--[D]

最小生成树由边集{CA，AB，BD}组成。沿着{CD}，最大边缘权重为50，但它不是MST的一部分。但是如果G已经等于它自己的MST，那么显然它将包含它自己的最大边缘。

G的每个MST都包含最小加权边？

是。 MST具有剪切属性。 cut 只是图形顶点的一个分区，分为两个不相交的集合。对于任何可以进行的切割，如果切割中边缘的权重小于切割中其他边缘的权重，则此边缘属于图形中的所有MST。因为您保证边缘权重是不同的，所以您还保证边缘小于所有其他边缘。

另外，如果有人可以提供一些在处理此类MST问题时必须记住的关键事项，我会更感谢。

您最好的选择是使用MST的属性进行推理，并尝试构建您认为可以证明您的情况的特定反例。我给出了上面每行推理的一个例子。由于切割和循环属性，您始终可以确切地确定MST中的哪些边缘，因此您可以系统地测试每个边缘以确定它是否在MST中。

Answer 2

G的每个MST是否包含最小加权边？

是。假设我们有MST，它不包含最小权重边。现在，将此边添加到MST将导致cycle。现在，cycle中总会有另一条边可以被移除以移除周期并仍保持图形（MST）连接。

G的MST是否包含最大加权边？

取决于图表。如果graph本身是树，那么我们需要在n-1中包含其所有MST边，因此无法排除最大权重边。此外，如果最大权重边缘为cut-edge，因此其排除将永远不会导致连接，则无法排除最大权重边缘。但如果最大权重边缘是cycle的一部分，则可以从MST中排除。

Answer 3

对于你的第一个问题，答案是否定的，kruskal's algorithm证明了这一点。它总是会选择最低成本优势。

对于第二个问题，答案是肯定的，找到示例图表是微不足道的：

1 - 2 (cost 10)
2 - 3 (cost 100)
3 - 1 (cost 1000)

第三条边将永远不会被选中，因为它引入了一个循环。所以基本上，如果具有最大成本的边缘在插入MST时会创建一个循环，则不会插入。

Answer 4

我看到你也正在通过2009年考试为CSC263学习？（同样在这里！）

另一种看到最小值总是在MST中的方法是简单地看一下这个最小边缘（称之为e）：

          e 
v1 ---------------- v2

（假设这与其他verticies有联系）。现在，为了不被包括在最终的MST中，我们在一个点上，不失一般性，在MST中有v1而不是v2。但是，添加v2而不添加e的唯一方法是添加v1不会将e添加到队列中（因为根据定义，e将位于队列的顶部，因为它具有最低优先级）但是这样与MST构造定理相矛盾。

基本上，不可能有一个最小权重的边缘没有到达队列，这意味着任何构造的MST都会拥有它。