我的问题是，这是真的吗。
g(n) ∈ O(f(n)) =⇒ (g(n))^2 ∈ O((f(n))^2)
从长远来看它应该是正确的，但我有一个例子 (log n )^ 2 仍然在或小于 O(sqrt n)
有没有办法在没有图表的情况下证明这一点。
THX
答案 0 :(得分：3)
很直观的是，如果一个函数 g 的速度小于或等于另一个函数 f，则 g 的平方小于或等于 {{ 的平方1}}。
正式：
f 意味着，对于常数 g(n) ∈ O(f(n)) 的至少一个选择，您可以找到一个常数 k > 0，使得不等式 a 对所有 0 ≤ g(n) ≤ k f(n) 成立。 n > a 意味着，对于常数 g(n)^2 ∈ O(f(n)^2) 的至少一个选择，您可以找到一个常数 k > 0，使得不等式 a 对所有 0 ≤ g(n)^2 ≤ k f(n)^2 成立。 既然我们想证明 n > a 蕴涵 g(n) ∈ O(f(n))，我们想从语句 #1 开始到达语句 #2。
让我们取两个常量 g(n)^2 ∈ O(f(n)^2) 和 k，使得语句 #1 得到满足。
首先，请注意：
a 对所有 0 ≤ k f(n) 成立（来自假设）；n > a 对所有 0 ≤ f(n) 保持（自 n > a 起）。 [结果 #1]还要注意：
k > 0 对所有 g(n) ≤ k f(n) 成立（来自假设）；n > a 对所有 g(n)^2 ≤ (k f(n))^2 成立（因为，根据假设和结果 #1，n > a 和 g(n) 对于所有 f(n) 都是非负的，所以我们可以保留 n > a 符号);≤ 对所有 g(n)^2 ≤ k^2 f(n)^2 保持。 [结果 #2]从结果 #1 和 #2 来看，语句 #2 得到满足。
Q.E.D.