请注意，我在这里要求小o（请参阅类似的问题here） - 对于大哦，这显然是错误的 - 对于小小的o感觉正确但似乎无法证明它...... / p> 编辑：很高兴我提出了辩论:)假设f，g＆gt; 0为简单起见
答案 0 :(得分：2)
至少，如果g（n）收敛到n为正无穷大的正无穷大（如果g（n）不是很容易找到反例）。
证明草图：
Prerequsites：g（n）收敛到n为正无穷大的正无穷大。
f（n）in o（g（n））表示：
for every eps > 0 exists a n0 so that for all n > n0 abs(f(n)) < abs(g(n)*eps).
表格如下：
2^abs(f(n)) < 2^abs(g(n)*eps) = (2^eps)^g(n) (for n > n0).
对于eps＆lt; 1：
(2^eps)^n is in o(2^n) (as 2^eps < 2)
因为每个eps2＆gt; 0存在n1，因此对于所有n> 1。 n1
(2^eps)^n < eps2*(2^n).
选择eps2 = eps vields：
(2^eps)^n < eps*(2^n) for all n > n1 (n1 is dependent on eps)
因为g（n） - > POS机。 INF。对于n - >; POS机。 INF。
存在n2g(n) > n1 for all n > n2
以下是
(2^eps)^g(n) < eps*2^g(n) for all n > n2.
所以对于每0＆lt; eps＆lt; 1存在n3> = max（n0，n2）以便
2^abs(f(n)) < 2^abs(g(n)*eps) = (2^eps)^g(n) < eps*2^g(n) for all n > n3.
对于每个eps3＆gt; 1还：
2^abs(f(n)) < eps*2^g(n) < eps3*2^g(n)
因此对于每个eps＆gt; 0存在n3以便
2^abs(f(n)) < eps*2^g(n) for all n > n3
困败2 ^ f（n）＆lt;对于所有n，2 ^ abs（f（n）），并且2 ^ x> 1。 0表示所有实数x，它遵循
abs(2^f(n)) < abs(eps*2^g(n)) for all n > n3
q.e.d。
如果有什么不清楚或错误，请发表评论。
编辑：关于其他g（n）的一些想法：
g（n）的子序列受到限制，即它存在一些x，因此对于所有n> 0，不存在具有abs（g（n））> = x的n0。 N0：
o（g（n））仅由一些n后的常数0或收敛到0的函数组成。然后2 ^ g（n）也有一个受限的子序列，但是2 ^ f（n）在经过1后是常数1某点。
没有n0所以g（n）＆gt; 0表示所有n> N0：
2 ^ g（n）＆lt;如果g（n）<1，则为1。 0，因此g（n）具有受限的子序列，意味着o（2 ^ g（n））仅包含在某些n之后为0或收敛为0的函数。
答案 1 :(得分：1)
这是一个答案。结果取决于g（n）的收敛性。
首先考虑相关限制：
lim(x->inf) log_2 ((2^(f(n))) / (2^(g(n))))
=
lim(x->inf) ( log_2(2^(f(n))) - log_2(2^(g(n))) )
=
lim(x->inf) ( f(n) - g(n) ) = lim(x->inf) ( g(n) * f(n) / g(n) - g(n) )
=
lim(x->inf) ( -g(n) ) = - lim(x->inf) g(n)
...现在，要在你的帖子中将其转换为原始问题的形式，如果在数学上正确切换限制和日志（我认为是），那么我们将：
lim(x->inf) log_2 ((2^(f(n))) / (2^(g(n))))
=
log_2 lim(x->inf) ((2^(f(n))) / (2^(g(n)))).
现在，继续回答这个问题。如果 为真
2^(f(n)) = o(2^(g(n))),
然后在极限，右侧变为
log_2 (0) = - inf
...所以在这种情况下一定是真的
lim(x->inf) g(n) = inf
这个结果似乎有道理。考虑f(x) = exp(-x) and g(x) = 1 - exp(-x)。显然，在这个例子中f(x) = o(g(x))。但是，2^(f(x)) is not o(2^(g(x)))因为
lim(x->inf) (2^exp(-x)) / (2^(1-exp(-x))) = 1/2.
但考虑到f(x) = exp(x), g(x) = exp(2x)，f(x) = o(g(x))和lim(x->inf) g(x) = inf，符合上述条件，我们有
lim(x->inf) (2^exp(x)) / (2^exp(2x))
=
lim(x->inf) 1 / 2^(exp(x)*(exp(x) - 1)) = 0
所以2^(f(x)) = o(2^(g(x)))。
答案 2 :(得分：-1)
通过示例轻松证明，
设，f（n）= 2log n和
g（n）= log n
（假设日志是基数2）
我们知道，2log n＆lt; = c（log n） 因此f（n）= O（g（n））
2 ^（f（n））= 2 ^ log n ^ 2 = n ^ 2
2 ^（g（n））= 2 ^ log n = n
我们知道
n ^ 2不是O（n）
因此， 2 ^（f（n））不等于O（2 ^ g（n）））