计算以下代码的代码复杂度

Question

我觉得在最坏的情况下，当j = i或j = i ^ 2时，条件也只有两次成立，然后循环额外运行i + i ^ 2次。 在最坏的情况下，如果我们对内部2个循环求和，则将是theta（i ^ 2）+ i + i ^ 2，它等于theta（i ^ 2）本身； 外环上的theta（i ^ 2）求和得出theta（n ^ 3）。 那么答案是theta（n ^ 3）吗？

Answer 1

我会说总体表现为theta(n^4)。这是您的伪代码，以文本格式给出：

for (i = 1 to n) do
    for (j = 1 to i^2) do
        if (j % i == 0) then
            for (k = 1 to j) do
                sum = sum + 1

首先意识到，j % i == 0条件只有在j是n的倍数时才成立。实际上，这只会发生n次，因此，最终内部for循环只会被n中的for循环命中j次。对于n^2接近范围末尾的情况，最终的for循环将需要j个步骤。另一方面，范围的开始只需要大约n个步骤。因此，此处的总体效果应该在O(n^3)和O(n^4)之间，但是theta(n^4)应该是有效的。

Answer 2

对于固定的i，i整数1 ≤ j ≤ i2使得j % i = 0为{i,2i,...,i2}。因此，内部循环使用i的参数i * m执行1 ≤ m ≤ i次，而保护执行了i2次。因此，复杂度函数T(n) ∈ Θ(n4)由下式给出：

T(n) = ∑[i=1,n] (∑[j=1,i2] 1 + ∑[m=1,i] ∑[k=1,i*m] 1)
     = ∑[i=1,n] ∑[j=1,i2] 1 + ∑[i=1,n] ∑[m=1,i] ∑[k=1,i*m] 1
     = n3/3 + n2/2 + n/6 + ∑[i=1,n] ∑[m=1,i] ∑[k=1,i*m] 1
     = n3/3 + n2/2 + n/6 + n4/8 + 5n3/12 + 3n2/8 + n/12
     = n4/8 + 3n3/4 + 7n2/8 + n/4