Question

我有一个大小为 n 的数组 arr ，其中包含以随机顺序排列的整数1到 n ;例如，它可能是arr = [4 5 3 6 2 1]。

对于 arr 中的每个元素 e ，我需要找到小于 e k >。（＆＃34;最接近＆＃34;就位置而言，而不是价值;所以在上面的例子中，5更接近于3而不是6）。如果在两个方向上有相同的近似较小的元素 - 就像在6中一样上面的例子，其直接邻居都小于它 - 那么选择这些元素中的哪一个并不重要。

因此，通过上面的示例arr = [4 5 3 6 2 1]，一个有效的结果是[3 3 2 2 1 NIL]。

我知道有一个O（ n ）算法来解决这个问题;它通过维护一个堆栈来找到每个元素左右两侧最近的较小元素。

但令人惊讶的是，简单的线性双向搜索比该算法表现更好，即使在最坏的情况下我似乎是O（ n ²）： / p>

for i = 1 to N
  right = i + 1
  left = i - 1
  while (left > 0 && right <= n)
    // ...find the closest element that is smaller than arr[i] and break while loop

上述情况的最坏情况是什么？我是对的O（ n ²）？

Answer 1

这是最坏情况Θ（ n log n ）时间（假设你实现了Daniel上面提到的修复 - 你需要确保你可以扫描所有每个方向的结束方式）。

首先，观察如果两个元素 a 和 b 是邻居，那么 a ＆lt; b 或 b ＆lt; 一。在任何一种情况下，这些元素中的至少一个将需要仅“1”的“搜索距离”。

通过扩展，至少有一半的数组元素需要的搜索距离仅为1。

同样，如果四个元素[ a ， b ， c ， d ]都在一行中，其中一个比其他三个少。因此，这些元素中至少有三个需要最多3个搜索距离。如上所述，其中两个实际上只需要1的搜索距离，所以这意味着两个搜索距离为1，第三个搜索距离为1。搜索距离最多为3.总搜索距离最多为2·1 + 1·3 +（ n -1）。

我们可以继续这个逻辑来增加长度2 ^k的运行：我们最多有2个^{k -1}·（2 ¹ -1）+ 2 ^{ķ -2}·（2 ² -1）+ 2 ^{ķ -3}·（2 ³ -1）+⋯+（名词 -1）。

如果 n 是2的幂，那么我们可以将其写为2 ^k，总搜索距离最多为：
2 ^{ķ -1}·（2 ¹ -1）+ 2 ^{ķ -2}·（2 ² -1）+ 2 ^{ķ -3}·（2 ³ -1）+⋯ + 2 ⁰·（2 ^ķ -1）=
=（2 ^ķ -2 ^{ķ -1}）+（2 ^ķ -2 ^{ķ -2}）+（2 ^ķ -2 ^{< EM>ķ -3}）+⋯+（2 ^ķ -2 ⁰）
= k ·2 ^k - 2 ^k + 1
= n log n - log n + 1
＆LT; n log n

（如果 n 不是2的幂，那么我们可以通过附加值 n +1来获得更大的数组， n +2等，直到我们确实具有2的幂，并且观察到所得到的总搜索距离小于2 log 2 n < / i>，仍然在Θ（ n log n ）。）

当然，上面只设置了一个上限（ O 而不是Θ）;但我认为它显示了如何真正实现最坏情况：我们希望尽可能多地以尽可能多的方式传播，以两种方式。例如，我们可以“扩展”这样的列表：

1 2 1 3 2 4 1 5 3 6 2 7 4 8

如上所述，上述搜索总距离为7 + 1 + 2 + 1 + 4 + 1 + 2 + 1 = 17 = 3·8 - 8 + 1。

以下算法的计算复杂度？

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