证明递归行列式的复杂性

Question

我想证明为什么拉普拉斯行列式或递归算法的复杂度是n!。谁能为我证明？考虑到方程n!仅涉及乘法和加法运算，我不知道它怎么会变成T(n)=nT(n-1)+3n-1。

Answer 1

尝试扩展：

T(n) = n T(n-1) + 3n-1 = 
       n ((n-1)T(n-2) + 3(n-1)-1) + 3n-1 =
       n (n-1) T(n-2) + 3 n (n-1)  - n + (3n - 1)

现在通过归纳可以显示（如果T(1) = 1）：

T(n) = n (n-1) (n-2) ... 1 + 3(n + n (n-1) + ... + n!) - 
      (1 + n + n (n-1) + ... + n (n-1) ... n * (n-1) * ... * (n-2)) 
     = Theta(n!)