我很快就要考试了，而且很久没上大学了，因为我在医院里
证明或反驳以下陈述：
log（n）= O（ √ n）
3 ^（n-1）= O（2 ^ n）
f（n）+ g（n）= O（f（g（n）））
2 ^（n + 1）= O（2 ^ n）
有人可以帮我解释一下吗？
答案 0 :(得分：1)
（1）是正确的，因为log（n）的渐近增长比任何多项式都慢，包括sqrt（n）= n ^（1/2）。为了证明这一点，我们可以观察到log（n）和sqrt（n）都是n> 0的严格增加的函数，然后集中于易于评估的序列，例如2 ^（2k）。现在我们看到log（2 ^（2k））= 2k，但是sqrt（2 ^（2k））= 2 ^ k。对于k = 2，2k = 2 ^ k，对于k> 2，2k <2 ^ k。这掩盖了一些细节，但是这个想法是正确的。您可以通过在2 ^（2k）和2 ^（2（k + 1））之间争论两个函数的值大于1来完成此操作，因为k> = 2，因此可以通过将sqrt（n）乘以x来消除任何交叉一些常数。
（2）3 ^（n-1）是O（2 ^ n）是不正确的。假设这是真的。然后存在一个n0和c，使得对于n> n0，3 ^（n-1）<= c * 2 ^ n。首先，通过在前面加上（1/3）来消除-1；因此（1/3）* 3 ^ n <= c * 2 ^ n。接下来，除以2 ^ n：（1/3）*（3/2）^ n <= c。乘以3：（3/2）^ n <= 3c。最后，取底数为3/2的两边的对数：n <= log_3 / 2（3c）。 RHS是一个常数表达式，而n是一个变量；因此，n不能满足要求。这是一个矛盾，所以我们的假设是错误的。即3 ^（n-1）不是O（2 ^ n）。
（3）这是不正确的。 f（n）= 1和g（n）= n是一个简单的反例。在这种情况下，f（n）+ g（n）= 1 + n，但O（f（g（n））= O（f（n））= O（1）。
（4）这是正确的。将2 ^（n + 1）重写为2 * 2 ^ n，很明显，通过选择c> 2，对于n> = 1成立。