关于大记法，证明或反驳

Question

所以我完全迷失在大哦符号上。

在我的任务中，我应该使用正式定义来证明或反驳以下内容。

3n³ - 7n² + 100n - 36 is in O(n³)

和

n²/log(n) + 3n is in O(n²)

有人可以帮助我，并告诉我如何证明或反驳。

Answer 1

definition of Big-O是

  

f(n) ∈ O(g(n)) ⇔ lim supn → ∞ | f(n)/g(n) | < ∞

由于您的f(n)和g(n)是多项式lim sup，lim是相同的。所以你必须证明：

1. limn → ∞ |(3n³ - 7n² + 100n - 36) / n³| < ∞

   limn → ∞ |(3n³ - 7n² + 100n - 36) / n³| 
    = limn → ∞ |n³(3 - 7/n + 100/n² - 36/n³) / n³|
    = limn → ∞ |3 - 7/n + 100/n² - 36/n³|
    = 3 < ∞
   

2. lim supn → ∞ |(n²/log(n) + 3n) / n²| < ∞

   lim supn → ∞ |(n²/log(n) + 3n) / n²| 
    = lim supn → ∞ |n²(1/log(n) + 3/n) / n²|
    = lim supn → ∞ |1/log(n) + 3/n|
    = 0 < ∞
   

   在这里，您还可以看到n²/log(n) + 3n也在o(n²)。