证明Fibonacci递归算法时间复杂度

Question

我试图在我的算法教科书中通过归纳理解一个证明。这里的作者使用归纳证明T（n）总是大于2 ^（n / 2）（这是用于使用递归算法计算第n个斐波纳契数）：

我不明白的是最后一步，他在操纵方程式。他是怎么来的：

> 2^(n-1)/2 + 2^(n-2)/2 +1

到

> 2^(n-2)/2 + 2^(n-2)/2 +1

他只是随机将2^(n-1)/2更改为2^(n-2)/2。这是一个错误吗？

感谢。

Answer 1

这是故意的，如果你仔细观察它是不公平的，他会使用它完成诱导步骤。

注意拼写错误，应该说“我们必须证明T（n）> 2 ^（n / 2）”而不是＆lt;。

Answer 2

我认为特定的一步是假设：

T(n-1) > T(n-2)

因此，我们可以形成代数不等式：

T(n-1) + T(n-2) + 1 > T(n-2) + T(n-2) + 1

我们可以从右侧击落+ 1（因为对于在LESSER方面减去的任何东西，不平等仍然适用）：

T(n-1) + T(n-2) + 1 > T(n-2) + T(n-2)

由此，替换我们的T（m）= 2 ^（m / 2）（对于小于n和> 2的任何东西，其中n-1和n-2都符合条件）：

2^(n-1)/2 + 2^(n-2)/2 + 1 > 2^(n-2)/2 + 2^(n-2)/2

这会让你迈出这一步。正如我上面的海报所说的那样故意这样做，达到2 ^（n / 2）。