Question

我很难证明斐波那契的'坏'版本是O（2 ^ n）。 IE浏览器。鉴于功能

int fib(int x)
{
  if ( x == 1 || x == 2 )
  {
    return 1;
  }
  else
  {
    return ( f( x - 1 ) + f( x - 2) );
  }
}

我可以获得有关O（2 ^ n）的证据的帮助。

Answer 1

让我们从编写运行时的递归关系开始：

T（1）= 1

T（2）= 1

T（n + 2）= T（n）+ T（n + 1）+ 1

现在，让我们猜一下

T（n）≤2ⁿ

如果我们试图通过归纳来证明这一点，那么基本案例会检查出来：

T（1）=1≤2= 2 ¹

T（2）=1≤4= 2 ²

然后，在归纳步骤中，我们看到了这一点：

T（n + 2）= T（n）+ T（n + 1）+ 1

≤2ⁿ + 2 ^{n + 1} + 1

＆LT; 2 ^{n + 1} + 2 ^{n + 1}

= 2 ^{n + 2}

因此，通过诱导，我们可以得出结论：对于任何n，T（n）≤2ⁿ，因此T（n）= O（2 ⁿ）。

通过更精确的分析，您可以证明T（n）= 2F _n - 1，其中F _n是第n个Fibonacci数。这更准确地证明了T（n）=Θ（φⁿ），其中φ是黄金比率，其约为1.61。请注意，φⁿ = o（2 ⁿ）（使用小写符号），因此这是一个更好的约束。

希望这有帮助！

Answer 2

尝试手动执行一些测试用例，例如f(5)，并记下调用方法f()的次数。

胖的提示是注意每次调用方法f()时（除了x是1或2），f()被调用两次。每个人每次致电f()两次，依此类推......

Answer 3

实际上有一个非常简单的证明，f的总呼叫数将是2Fib(n)-1，其中Fib(n)是第n个斐波纳契数。它是这样的：

对f的调用形成一个二叉树，其中每个调用都是一个叶子（对于x = 1或x = 2），否则该调用会产生两个子调用（对于x> 2）。
每个叶子对原始调用返回的总数的贡献恰好为1，因此总共有Fib(n)个叶子。
任何二叉树中的内部节点总数等于L-1，其中L是叶数，因此该树中的节点总数为2L-1。

这表明运行时间（以f的总呼叫数衡量）为

T(n)=2Fib(n)-1=O(Fib(n))

以及Fib(n)=Θ(φ^n)以来，其中φ是golden ratio

Φ=(1+sqrt{5})/2 = 1.618...

这证明T(n) = Θ(1.618...^n) = O(n)。

Answer 4

使用递归树方法：

                                             T(n)                         
                                       ↙            ↘
                                   n-1              n – 2                                 
                               ↙      ↘             ↙      ↘
                           N – 2      n – 3      n – 3       n - 4

如果以这种方式完成递归树，则每个树级别都被视为对fib（x - 1）fib（x - 2）的调用，当x = 1或x = 2（基本情况）时，您将停止。 ..这个树只显示递归树的三个级别。要解决这棵树，您需要以下重要信息：1-树的高度。 2 - 每个级别完成了多少工作。这棵树的高度是2 ^ n，每个级别的工作是O（1）然后这个重复的顺序是高度*每个级别的工作= 2 ^ n * 1 = O（2 ^ n）

证明这个递归的Fibonacci实现在时间O（2 ^ n）运行？

4 个答案: