n x n矩阵的递归行列式算法的运行时和空间复杂度

Question

我正在尝试找出以下算法的运行时间和空间复杂度。

有人说它的运行时复杂度是O（n！），我猜是因为有n !！递归调用求解n * n矩阵的递归算法。但是我不确定我是否正确。

此外，空间复杂度是否也是n！？

Answer 1

写出一个明确的递归关系可能会有所帮助，该关系控制着递归算法的直接实现的运行时。注意，在处理n×n矩阵时，求和需要对大小为（n-1）×（n-1）的矩阵进行n次递归调用。每个递归调用都需要大约（n-1） ² 的额外设置时间，因为我们需要从原始矩阵中提取该大小的子矩阵，因此该算法的每次调用总开销将是Θ（n ³ ），因为我们多次进行二次求线性。这意味着我们完成的工作大致是

  

T（n）= nT（n-1）+ n ³ 。

完全忽略此处的三次项，请注意扩展递归将具有以下效果：

  

T（n）= nT（n-1）+ ...

     

= n（n-1）T（n-2）+ ...

     

= n（n-1）（n-2）T（n-3）+ ...

最终我们将得到n！出现的术语，再加上立方中的一堆额外术语。因此，这里所做的功至少为Ω（n！），而且一旦考虑三次项，可能还要大得多。

关于空间复杂度-处理空间复杂度时，请记住，一旦递归的一个分支终止，我们就可以重用该分支正在使用的空间。这意味着我们只需要查看任何一个分支即可查看需要多少空间。

通过这种简单的实现，我们显式地计算递归调用的子矩阵，我们将需要空间来存储一个大小为n×n的矩阵，其中一个大小为（n-1）×（n-1） ，大小为（n-2）×（n-2）等的一个。空间使用量总计为Θ（n ³ ）。

还有许多其他算法可用于以更少的时间和空间计算行列式。例如，某些基于高斯消去并在时间O（n ³ ）上运行。