对具有线性复杂度的嵌套循环感到困惑（Big-Oh = O（n）），但我努力做到对数

Question

算法的计算复杂度和大o

  

T（n）= 5n log n + 3log n + 2 //到基数2 big o = o（n log n）

for(int x = 0,i = 1;i <= N;i*=2)
{
    for(int j = 1 ;j <= i ;j++)
    {
        x++;
    }
}

期望的大o是线性的，因为我的对数

Answer 1

您的Big-Oh分析不正确。确实，外循环执行了 n 次，但内循环在每次迭代中在 i 中都是线性的。

如果计算内部循环的迭代总数，您会发现整个过程是线性的：

内部循环将进行‍1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + (the last power of 2 <= N)个迭代。该总和将在N和2*N之间，这使整个循环呈线性。

Answer 2

让我解释一下为什么您的分析是错误的。

很明显，内部循环将执行1 + 2 + 4 + ... + 2^k次，其中k是满足方程的最大整数。这意味着k的上限是

在不失一般性的情况下，我们可以为k取上限，并假设k是整数，复杂度等于1 + 2 + 4 + ... + =几何级数等于

因此，用O表示为O(n)

Answer 3

首先，您应该注意到您的分析不是对数的！由于N \log N不是对数的。

此外，时间复杂度为T(n) = sum_{j = 0}^{log(n)} 2^j（因为每次复制i的值）。因此，T(n) = 2^(log(N) + 1) - 1 = 2N - 1 = \Theta(N)。