Question

在1.2.3节中，程序的结构和解释给出了增长顺序的正式定义：

我们说R（n）具有增长顺序Θ（f（n）），写为R（n）=Θ（f（n））（发音为“ f（n）的θ”），如果存在正常数k ₁并且 k ₂与n无关，使得k ₁ f（n）≤R（n）≤k ₂ f（n） n的值（换句话说，对于大的n，值R（n）夹在k ₁ f（n）和k ₂ f（n）之间。）

常数k ₁和k ₂的意义是什么？我很难将这个正式定义映射到现实世界的例子中，因为常量没有再被提及。

也许k ₁ f（n）≤R（n）意味着有一些可观察到的增长？也许R（n）≤k ₂ f（n）意味着f（n）是增长的上限？但是如果R（n）=Θ（f（n））并且k ₁是一个正常数，那么k ₁ f（n）何时会小于R（ n）？似乎仅当k ₁为1时，条件成立。

Answer 1

R和f是完全不同的函数，除了它们相对于n的增长方式外没有其他共同之处，因此没有理由使f（n）等于R（n）。 R是“处理大小为n的问题所需的资源量”。 f是无关的数学函数。

使Θ的定义特别令人困惑的是，它不是指R正在测量资源，也不是指正在使用该资源的过程。

R（n）的示例可能是：

用于对n个数字求和的寄存器数。
用于转码n GB视频的磁盘
发射n架无人机所花费的时间。

但是Θ的定义没有提到资源（寄存器，磁盘，时间），也没有提及处理（求和，转码或启动）。

如果我们的“过程”是一个称为p的软件过程，那么我们就有三个截然不同的“功能”：

p(n) - a procedural function that programmers work with.
R(n) - a measuring function like ones used by engineers.
f(n) – a 'pure' mathematical function.

如果我们使用阶乘过程作为示例，该过程相对于时间具有Θ（n）增长，那么我们将：

p(n) = (define (factorial n) (if (= n 1) 1 (* n (factorial (- n 1)))))
R(n) = The time in seconds for (factorial n) to complete.
f(n) = n

R（n）= f（n）表示（阶乘17）运行仅需要17秒，这不太可能。

θ（n）的定义是说k和k 2存在，所以一旦n足够大：

k₁ * n <= "Time taken for (factorial n) to run in seconds" <= k₂ * n

在现代计算机上，k₁* n要小于实际运行时间，k₁必须很小。

对于树递归斐波那契过程，增长为Θ（1.618ⁿ），因此我们具有：

p(n) = (define (fib n) (cond ((= n 0) 0) ((= n 1) 1)  (else ... )))
R(n) = The time in seconds for (fib n) to complete.
f(n) = 1.618ⁿ

并且定义是说k₁和k²存在，所以：

k₁ * 1.618ⁿ <= "Time taken for (fib n) to run" <= k₂ * 1.618ⁿ)

（我用“ 1.618”代替黄金配比“φ”）

SICP的增长顺序定义中涉及哪些常数？

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